Projection affine

Points A₁, A, B, G et leur projetés A'₁, A', B', G' sur la droite D selon la direction Δ

En géométrie plane, on considère une droite D du plan et une direction Δ non parallèle à D. La projection sur la droite D selon la direction Δ transforme le point A en un point A' tel que

• A' est sur la droite parallèle à Δ passant par A
• A' est sur la droite D

Les deux droites précédentes étant non parallèles, elles se rencontrent un point unique ce qui garantit l'existence et l'unicité de A' lorsqu'un point A est donné.

On remarque que, si A appartient à la droite D, il est son propre projeté. Enfin, tout point A' situé sur D est le projeté d'une infinité de points : tous les points situés sur la droite passant par A' et parallèle à Δ se projettent sur A'. Ainsi, la projection n'est pas injective et n'est donc pas une bijection.

La projection est une application affine. Cela signifie que la projection conserve les barycentres : si A et B sont deux points et si a et b sont deux réels tels que a + b soit non nul et si G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b, le projeté du point G est encore le barycentre des projetés de A et de B affectés des mêmes coefficients a et b.

En particulier, si A, B et C sont trois points alignés et si A', B' et C' sont leurs projetés, alors la projection conserve les rapports de mesures algébriques :

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {A'B'}}{\overline {A'C'}}}}$

Cette propriété est à rapprocher de la propriété de Thalès.

À l'application affine est associée une application linéaire sur les vecteurs du plan ${\displaystyle {\vec {p}}}$ : ${\displaystyle {\vec {p}}({\overrightarrow {AB}})={\overrightarrow {A'B'}}}$

${\displaystyle {\vec {p}}({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})={\vec {p}}({\overrightarrow {AB}})+{\vec {p}}({\overrightarrow {AC}})}$

et si k est un scalaire, alors

${\displaystyle {\vec {p}}(k{\overrightarrow {AB}})=k{\vec {p}}({\overrightarrow {AB}})}$.

Cette application linéaire est une projection vectorielle.

Les droites D et Δ se coupent en O. Alors, soient A' le projeté de A sur D parallèlement à Δ, et A'' le projeté de A sur Δ parallèlement à D. Alors :

${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OA'}}+{\overline {OA''}}}$

Si u est un vecteur directeur de D et v un vecteur directeur de Δ, (0,u,v) est un repère affine du plan. Si les coordonnées de A dans ce repère sont (x,y), alors :

${\displaystyle {\overrightarrow {OA'}}=x\cdot u\$ ;\ \ {\overrightarrow {OA''}}=y\cdot v.}

Soit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ un vecteur directeur de Δ de composantes (x_u, y_u). Soit

a·x + b·y + c = 0

l'équation de D. Soit le point A de coordonnées (x_A, y_A) et son projeté A' de coordonnées (x_A', y_A').

Comme (AA' ) est parallèle à Δ, il existe un scalaire k tel que

${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}=k\cdot {\vec {u}}}$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{A'}-x_{A}=k\cdot x_{u}\\y_{A'}-y_{A}=k\cdot y_{u}\end{matrix}}\right.}$

Par ailleurs, A' est sur D, ce qui signifie que

a·x_A' + b·y_A' + c = 0

on obtient donc

a·(k·x_u + x_A) + b·(k·y_u + y_A) + c = 0

d'où

${\displaystyle k=-{\frac {a\cdot x_{A}+b\cdot y_{A}+c}{a\cdot x_{u}+b\cdot y_{u}}}}$

(a·x_u + b·y_u est non nul puisque ${\displaystyle {\vec {u}}}$ n'est pas colinéaire à D) d'où

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{A'}=-{\frac {a\cdot x_{A}+b\cdot y_{A}+c}{a\cdot x_{u}+b\cdot y_{u}}}\cdot x_{u}+x_{A}\\y_{A'}=-{\frac {a\cdot x_{A}+b\cdot y_{A}+c}{a\cdot x_{u}+b\cdot y_{u}}}\cdot y_{u}+y_{A}\end{matrix}}\right.}$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{A'}={\frac {b\cdot (x_{A}y_{u}-y_{A}x_{u})-c\cdot x_{u}}{a\cdot x_{u}+b\cdot y_{u}}}\\y_{A'}={\frac {a\cdot (y_{A}x_{u}-x_{A}y_{u})-c\cdot y_{u}}{a\cdot x_{u}+b\cdot y_{u}}}\end{matrix}}\right.}$

Projection d'un cube sur un plan parallèlement à une droite

Dans l'espace, nous considérons un plan Π et une droite Δ non parallèle à Π. La projection sur le plan Π selon la direction Δ transforme le point A en un point A' tel que

• A' appartient au plan Π ;
• A' est sur la droite parallèle à Δ passant par A

Le plan et la droite étant non parallèles, ils se coupent en un point unique, ce qui garantit l'existence et l'unicité de A' lorsqu'un point A est donné. Si Δ est perpendiculaire à Π, alors la projection est dite orthogonale.

On retrouve les mêmes propriétés que dans la projection précédente : si A appartient au plan, A est son propre projeté. Tout point A' du plan est le projeté d'une infinité de points situés sur la droite passant par A' et parallèle à Δ

La projection est une application affine, qui conserve les barycentres et le parallélisme. C'est-à-dire que deux droites parallèles se projettent ou bien selon deux points, ou bien selon deux droites également parallèles. Ce type de projection permet les représentations planes d'objets dans l'espace sous forme de perspectives axonométriques comme la perspective cavalière.

Comme pour toute application affine, la propriété de Thalès est encore vérifiée : si A, B et C sont trois points alignés et si A', B' et C' sont leurs projetés, alors

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {A'B'}}{\overline {A'C'}}},}$

c'est-à-dire qu'il existe un scalaire ${\displaystyle \lambda }$ vérifiant à la fois

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\lambda ~{\overrightarrow {AC}}\quad {\text{et}}\quad {\overrightarrow {A'B'}}=\lambda ~{\overrightarrow {A'C'}}.}$

En effet, à l'application affine est associée une application linéaire sur les vecteurs de l'espace, qui envoie ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$ sur ${\displaystyle {\overrightarrow {A'C'}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ sur ${\displaystyle {\overrightarrow {A'B'}}}$.

L'application linéaire associée à une projection affine est une projection vectorielle.

Soit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ un vecteur directeur de Δ de composantes (x_u, y_u, z_u). Soit

a·x + b·y + c·z + d = 0

l'équation de Π. Soit le point A de coordonnées (x_A, y_A, z_A) et son projeté A' de coordonnées (x_A', y_A', z_A').

Comme (AA' ) est parallèle à Δ, il existe un scalaire k tel que

${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}=k\cdot {\vec {u}}}$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{A'}-x_{A}=k\cdot x_{u}\\y_{A'}-y_{A}=k\cdot y_{u}\\z_{A'}-z_{A}=k\cdot z_{u}\\\end{matrix}}\right.}$

Par ailleurs, A' est sur Π, ce qui signifie que

a·x_A' + b·y_A' + c·z_A' + d = 0

On voit que d'un point de vue analytique, le problème est très similaire au précédent. On a un système de quatre équations à quatre inconnues x_A', y_A', z_A' et k. On obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{A'}={\frac {b\cdot (x_{A}y_{u}-y_{A}x_{u})+c\cdot (x_{A}z_{u}-z_{A}x_{u})-d\cdot x_{u}}{a\cdot x_{u}+b\cdot y_{u}+c\cdot z_{u}}}\\y_{A'}={\frac {a\cdot (y_{A}x_{u}-x_{A}y_{u})+c\cdot (y_{A}z_{u}-z_{A}y_{u})-d\cdot y_{u}}{a\cdot x_{u}+b\cdot y_{u}+c\cdot z_{u}}}\\z_{A'}={\frac {a\cdot (z_{A}x_{u}-x_{A}z_{u})+b\cdot (z_{A}y_{u}-y_{A}z_{u})-d\cdot z_{u}}{a\cdot x_{u}+b\cdot y_{u}+c\cdot z_{u}}}\\\end{matrix}}\right.}$

Dans le cas d'une projection orthogonale et si le repère est orthonormal, on peut choisir x_u = a, y_u = b et z_u = c, soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{A'}={\frac {(b^{2}+c^{2})\cdot x_{A}-ab\cdot y_{A}-ac\cdot z_{A}-d\cdot a}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\\y_{A'}={\frac {-ab\cdot x_{A}+(a^{2}+c^{2})\cdot y_{A}-bc\cdot z_{A}-d\cdot b}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\\z_{A'}={\frac {-ac\cdot x_{A}-bc\cdot y_{A}+(a^{2}+b^{2})\cdot z_{A}-d\cdot c}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\\\end{matrix}}\right.}$

Si l'on décide arbitrairement que Π contient l'origine (d = 0) et que a² + b² + c² = 1, alors on a

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{A'}=(b^{2}+c^{2})\cdot x_{A}-ab\cdot y_{A}-ac\cdot z_{A}\\y_{A'}=-ab\cdot x_{A}+(a^{2}+c^{2})\cdot y_{A}-bc\cdot z_{A}\\z_{A'}=-ac\cdot x_{A}-bc\cdot y_{A}+(a^{2}+b^{2})\cdot z_{A}\\\end{matrix}}\right.}$

Dans le cas de la perspective isométrique, on choisit |a| = |b| = |c| = 1/√3. Par exemple, si on choisit les trois valeurs positives, on a

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{A'}=2/3\cdot x_{A}-1/3\cdot y_{A}-1/3\cdot z_{A}\\y_{A'}=-1/3\cdot x_{A}+2/3\cdot y_{A}-1/3\cdot z_{A}\\z_{A'}=-1/3\cdot x_{A}-1/3\cdot y_{A}+2/3\cdot z_{A}\\\end{matrix}}\right.}$

Projection sur une droite parallèlement au plan de base. Tous les points de la face inférieure du cube se projettent en A et tous les points de la face supérieure se projettent en B

Avec les mêmes notations que ci-dessus, on peut définir la projection sur Δ parallèlement à Π : elle transforme le point A en un point A' tel que

• A' est sur Δ ;
• A' appartient au plan parallèle à Π passant par A

Comme précédemment, le fait que la droite et le plan ne soient pas parallèles permet de dire qu'ils se coupent en un point et garantit l'existence et l'unicité de A' lorsqu'un point A est donné. Si Δ est perpendiculaire à Π, alors la projection est dite orthogonale.

On retrouve les mêmes propriétés que dans la projection précédente : si A appartient à la droite, A est son propre projeté. Tout point A' de la droite est le projeté d'une infinité de points situés dans le plan passant par A' et parallèle à Π.

C'est toujours une application affine donc l'application linéaire associée est une projection vectorielle, elle a donc les propriétés énoncées ci-dessus.

Considérons trois droites D₁ de vecteur directeur u₁, D₂ de vecteur directeur u₂ et D₃ de vecteur directeur u₃, non coplanaires et concourantes en un point O.

Pour un point de l'espace A, on appelle :

• A₁ le projeté de A sur D₁ parallèlement au plan (D₂, D₃) ;
• A₂ le projeté de A sur D₂ parallèlement au plan (D₃, D₁) ;
• A₃ le projeté de A sur D₃ parallèlement au plan (D₁, D₂).

Alors :

${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OA_{1}}}+{\overrightarrow {OA_{2}}}+{\overrightarrow {OA_{3}}}}$

et si A a pour coordonnées (x,y,z) dans le repère (0,u₁,u₂,u₃), alors

${\displaystyle {\overrightarrow {OA_{1}}}=x\cdot u_{1}\$ ;\ \ {\overrightarrow {OA_{2}}}=y\cdot u_{2}\ ;\ \ {\overrightarrow {OA_{3}}}=z\cdot u_{3}.}