Affinité (mathématiques)

Construction d'une affinité

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :

Soit ${\displaystyle E\,}$ un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires ${\displaystyle F\,}$ et ${\displaystyle G\,}$ (${\displaystyle E=F\oplus G}$) ;

l'affinité de base ${\displaystyle F\,}$ (ou sur ${\displaystyle F\,}$), de direction ${\displaystyle G\,}$ et de rapport ${\displaystyle \lambda \,}$ est l'unique endomorphisme ${\displaystyle f\,}$ qui se restreint à ${\displaystyle F\,}$ en l'identité, et à ${\displaystyle G\,}$ en l'homothétie de rapport ${\displaystyle \lambda \,}$ :

Si ${\displaystyle x=x_{F}+x_{G}\,}$ alors ${\displaystyle f(x)=x_{F}+\lambda x_{G}\,}$.

Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propres au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

• l'identité (${\displaystyle \lambda =1\,}$)
• les projections, ou projecteurs (${\displaystyle \lambda =0\,}$)
• les symétries, ou involutions linéaires (${\displaystyle \lambda =-1\,}$), (se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
• les homothéties ( ${\displaystyle G=E\,}$)
• les dilatations, ou affinités hyperplanes, (${\displaystyle \dim G=1\,}$).

Étant donné un sous-espace affine ${\displaystyle F\,}$ d'un espace affine ${\displaystyle E\,}$ associé à ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ et une direction supplémentaire ${\displaystyle {\overrightarrow {G}}}$, l'affinité de base ${\displaystyle F\,}$ (ou sur ${\displaystyle F\,}$) de direction ${\displaystyle {\overrightarrow {G}}\,}$ et de rapport ${\displaystyle \lambda }$ est l'application définie par la construction :

1. pour tout point ${\displaystyle M\,}$ dans ${\displaystyle E\,}$ on trace l'unique sous-espace ${\displaystyle G_{M}\,}$ passant par ${\displaystyle M\,}$ et de direction ${\displaystyle {\overrightarrow {G}}}$ ;
2. ${\displaystyle G_{M}\,}$ coupe ${\displaystyle F\,}$ en un point unique ${\displaystyle H\,}$ ;
3. l'image de ${\displaystyle M\,}$ par ${\displaystyle f\,}$ est alors le point ${\displaystyle M'\,}$ tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {HM'}}=\lambda {\overrightarrow {HM}}}$.

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe. Dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité ponctuelle et d'une translation de vecteur parallèle à la base de l'affinité ponctuelle.

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