Connexion (mathématiques)
En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par Élie Cartan et Hermann Weyl (avec comme cas particulier celle de connexion affine), puis reformulée en 1951 par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul.
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Connexion de Koszul
La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Katsumi Nomizu en 1954[1].
Cet opérateur fait correspondre à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ de vecteurs X sur B, une section globale notée vérifiant :
- L'application est -linéaire ; autrement dit, pour toute fonction régulière , on a :
- .
- la relation de Leibniz :
- .
La relation de Leibniz démontre que la valeur de en un point b de B ne dépend que des variations de au voisinage de b. La -linéarité implique que cette valeur ne dépend que de . Intuitivement, la notion de connexion a pour but de généraliser aux variétés différentielles la notion de dérivée suivant un vecteur, la quantité pouvant être interprétée comme la dérivée de s dans la direction X.
Connexion d'Ehresmann
Les connexions d'Ehresmann sont des généralisations aux fibrés des connexions de Koszul. De façon plus précise, une connexion d'Ehresmann sur E est un sous-fibré régulier H de TE, le fibré tangent de E.
Connexion de Levi-Civita
Une métrique riemannienne g de classe sur une variété différentielle M étant donnée, il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur , appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les deux conditions :
- ∇ est sans torsion : pour tous champs de vecteurs et ,
; - est parallèle : pour tous champs de vecteurs , et , on a :
Voir aussi
Notes et références
Note
- (en) Katsumi Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, dans Amer. J. Math., vol. 76, 1954, p. 33-65
Références
- (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, [détail de l’édition]
- (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin (en) et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]
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