Connexion affine

Pour une surface régulière S de l'espace euclidien à 3 dimensions, il existe une façon naturelle de relier les vecteurs tangents en des points voisins. Au voisinage de chaque point, S peut être approchée par son plan tangent en ce point, lequel est un sous-espace affine de l'espace euclidien. Au XIX^e siècle, les géomètres s'intéressaient à la notion de développement (en), c'est-à-dire au mouvement d'une surface roulant sur une autre sans pivotement ni glissement. En particulier, le plan tangent en un point de S peut rouler sur S. Au cours de ce mouvement, le point de contact parcourt une courbe de S. Réciproquement, étant donnée une courbe de S, on peut faire rouler le plan tangent le long de cette courbe. Ceci permet d'identifier les plans tangents en différents points de la surface. En particulier, un vecteur tangent à la surface, donc appartenant au plan tangent en un point donné de la courbe, s'identifie à un unique vecteur tangent en n'importe quel autre point de la courbe. Ces identifications définissent toujours une transformation affine d'un plan tangent vers un autre.

Cette notion de transport parallèle des vecteurs tangents le long d'une courbe, par des transformations affines, a un aspect caractéristique : le point de contact du plan tangent avec la surface, lorsqu'il suit la courbe, se déplace dans le plan par transport parallèle ; cette condition générique caractérise les connexions de Cartan (en). Dans une approche plus moderne, le point de contact est pris comme origine du plan tangent (qui s'identifie alors à un espace vectoriel), autrement dit le mouvement de ce point est corrigé par une translation, ce qui rend le transport parallèle linéaire plutôt qu'affine.

Du point de vue des connexions de Cartan, en revanche, les sous-espaces affines de l'espace euclidien sont des surfaces modèles : ce sont les surfaces les plus simples de l'espace euclidien (à 3 dimensions), homogènes sous l'action du groupe affine du plan ; chaque surface lisse a en chaque point une unique surface modèle tangente. Ces surfaces modèles sont des géométries de Klein, au sens du programme d'Erlangen. Plus généralement, un espace affine de dimension n est une géométrie de Klein pour le groupe affine Aff(n), le stabilisateur d'un point étant le groupe linéaire GL(n). Une variété affine de dimension n est donc une variété qui ressemble, sous un grossissement infini, à un espace affine de dimension n.

L'autre motivation des connexions affines vient de la notion de dérivée covariante des champs de vecteurs. Avant l'apparition de méthodes de calcul n'utilisant pas les coordonnées, il était nécessaire, pour manipuler des champs de vecteurs, d'utiliser leurs composantes dans des cartes locales. Ces composantes peuvent être dérivées, mais la transformation de ces dérivées dans un changement de coordonnées ne s'exprime pas simplement. Des termes correctifs furent introduits par Elwin Bruno Christoffel (en s'inspirant d'idées de Bernhard Riemann) dans les années 1870, de telle sorte que la dérivée (corrigée) d'un champ de vecteurs le long d'un autre se transforme de façon covariante par changement de coordonnées — ces termes correctifs devaient par la suite être appelés des symboles de Christoffel. Cette idée devait conduire à la théorie du calcul différentiel absolu (devenu le calcul tensoriel) développée par Gregorio Ricci-Curbastro et son élève Tullio Levi-Civita entre 1880 et le début du XX^e siècle.

Le calcul tensoriel ne devait cependant prendre son essor qu'avec le développement par Albert Einstein de sa théorie de la relativité générale en 1915. Quelques années plus tard, Levi-Civita formalisa l'unique connexion associée à une métrique riemannienne, connue désormais sous le nom de connexion de Levi-Civita. Des connexions affines plus générales furent étudiées vers 1919 par Hermann Weyl[1], qui développa les fondements mathématiques détaillés de la relativité générale, et par Élie Cartan[2], qui fit le lien avec les idées géométriques venues de la théorie des surfaces.

Cette histoire complexe a conduit au développement d'approches extrêmement variées du concept de connexion affine et de ses généralisations.

La plus populaire est sans doute la définition motivée par les dérivées covariantes. D'une part, les idées de Weyl furent développées par les physiciens sous la forme des théories de jauge et des dérivées covariantes de jauge (en). D'autre part, Jean-Louis Koszul donna un cadre abstrait à la notion de dérivation covariante, en définissant des connexions (linéaires ou de Koszul) sur des fibrés vectoriels. Dans ce langage, une connexion affine est simplement une dérivée covariante ou une connexion (linéaire) sur le fibré tangent.

Cependant, cette approche n'explique pas l'aspect géométrique des connexions affines, ni d'ailleurs leur nom[3]. Ce dernier a pour véritable origine l'identification par translation d'espaces tangents dans l'espace euclidien usuel : cette propriété signifie que l'espace euclidien à n dimensions est un espace affine (on peut aussi voir l'espace euclidien comme un espace principal homogène (en) sous l'action du groupe des translations, lequel est un sous-groupe du groupe affine). Comme on l'a dit dans l'introduction, il y a plusieurs façons de rendre cela précis : on part de ce qu'une connexion affine définit une notion de transport parallèle de champs de vecteurs le long d'une courbe. Cela définit également un transport parallèle sur le fibré des repères. Le transport parallèle infinitésimal dans le fibré des repères donne une autre description de la connexion affine, soit comme connexion de Cartan pour le groupe affine Aff(n), soit comme GL(n)-connexion principale sur le fibré des repères.

• Il résulte de la propriété (1) ci-dessus que la valeur de ∇_XY en un point x ∈ M dépend seulement de la valeur de X en x et non des valeurs de X sur M − {x}. Il découle aussi de la propriété (2) que la valeur de ∇_XY en x ∈ M ne dépend que des valeurs de Y sur un voisinage de x.
• Si ∇¹ et ∇² sont des connexions affines, la valeur en x de ∇¹_XY − ∇²_XY peut s'écrire Γ_x(X_x,Y_x), où

Γ_x: T_xM × T_xM → T_xM

est bilinéaire et dépend de x de manière lisse (c'est-à-dire définit un morphisme de fibrés (en) différentiable). Réciproquement, si ∇ est une connexion affine et Γ est un morphisme de fibrés différentiable bilinéaire (on dit que c'est une forme de connexion sur M), alors ∇ + Γ est une connexion affine.

• Si M est un ouvert de Rⁿ, le fibré tangent de M est le fibré trivial M × Rⁿ. Dans ce cas, il y a une connexion affine canonique d sur M : tout champ de vecteurs Y est donné par une application V de M vers Rⁿ, et d_XY est le champ de vecteurs correspondant à la fonction dV(X)=∂_XY de M vers Rⁿ. Toute autre connexion affine ∇ sur M peut par conséquent s'écrire ∇ = d +Γ, où Γ est une forme de connexion sur M.
• Plus généralement, une trivialisation locale du fibré tangent est un isomorphisme de fibrés (en) entre la restriction de TM à un ouvert U de M, et U × Rⁿ. La restriction d'une connexion affine ∇ à U peut alors s'écrire sous la forme d + Γ, où Γ est une forme de connexion sur U.

Transport parallèle sur une sphère. On part d'un point de l'équateur. On transporte un vecteur tangent à l'équateur, parallèlement à celui-ci vers l'ouest. Puis on le transporte parallèlement à un méridien jusqu'au pôle nord, puis on le transporte parallèlement au méridien du point initial jusqu'à l'équateur. Le vecteur a pivoté par rapport à sa position initiale en raison de la courbure de la sphère.

La comparaison de vecteurs tangents en différents points d'une variété n'est pas bien définie en général. Une connexion affine donne un moyen d'y remédier, en utilisant la notion de transport parallèle, et réciproquement, une telle notion permet de définir une connexion.

Soit M une variété munie d'une connexion affine ∇. Un champ de vecteurs X est dit parallèle si ∇X = 0 au sens où, pour tout champ de vecteurs Y, ∇_Y X = 0. Intuitivement, un champ de vecteurs est donc parallèle si toutes ses dérivées sont nulles, i.e. s'il est « constant » en un certain sens. L'évaluation en deux points x et y d'un champ parallèle de vecteurs permet d'identifier un vecteur tangent en x avec un autre en y ; de tels vecteurs seront dits transportés l'un de l'autre.

Malheureusement, des champs parallèles de vecteurs non nuls n'existent pas en général, même localement[4], parce que l'équation ∇X = 0 est une équation aux dérivées partielles qui est surdéterminée : la condition d'intégrabilité (en) pour cette équation est l'annulation de la courbure de ∇ (voir plus bas). Cependant, si on restreint cette équation à une courbe allant de x à y, elle devient une équation différentielle ordinaire, laquelle possède une solution unique pour chaque valeur initiale de X en x.

Plus précisément, si γ : I → M est un chemin (différentiable) paramétré par un intervalle I = [a,b] et ξ ∈ T_xM, où x = γ(a), un champ de vecteurs X le long de γ (et, en particulier, la valeur de ce champ en y = γ(b)) est appelé le transport parallèle de ξ le long de γ si :

1. ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0}$, pour tout t ∈ [a,b] ;
2. ${\displaystyle X_{\gamma (a)}=\xi }$.

Formellement, la première condition signifie que X est parallèle par rapport à la connexion tiré en arrière sur le fibré induitfibré induit γ*TM. Cependant, dans une trivialisation locale, cette condition est un système d'équations différentielles linéaires, qui possède une solution unique pour chaque ensemble de conditions initiales données par la seconde condition, (d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz).

Ainsi, le transport parallèle donne un moyen de déplacer des vecteurs tangents à la variété le long d'une courbe, en utilisant la connexion affine pour « conserver leur direction » en un sens intuitif, ce qui définit un isomorphisme (linéaire) entre les espaces tangents aux deux extrémités de la courbe. L'isomorphisme ainsi obtenu dépendra en général du choix de la courbe (pour plus de détails, voir l'article holonomie) ; si ce n'est pas le cas, le transport parallèle le long d'une courbe quelconque permet de définir des champs parallèles de vecteurs sur M ; cela ne peut se produire que si la courbure de ∇ est nulle.

Un isomorphisme linéaire est déterminé par son action sur une base. Aussi, le transport parallèle peut également être vu comme un moyen de transporter les éléments du fibré des repères (tangent) GL(M) le long d'une courbe. Autrement dit, la connexion affine fournit un relèvement d'une courbe γ quelconque de M vers une courbe ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ de GL(M).

Considérons un paramétrage en sphérique de la sphère unité ${\displaystyle (\theta ,\phi )\rightarrow {\begin{pmatrix}\sin(\theta )\cos(\phi )\\\sin(\theta )\sin(\phi )\\\cos(\theta )\end{pmatrix}}}$. La dérivation ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$ correspond au vecteur ${\displaystyle e_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )\cos(\phi )\\\cos(\theta )\sin(\phi )\\-\sin(\theta )\end{pmatrix}}}$ qui est unitaire, et la dérivation ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}}$ correspond au vecteur ${\displaystyle e_{\phi }={\begin{pmatrix}-\sin(\theta )\sin(\phi )\\\sin(\theta )\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}}$ qui n'est pas unitaire. Posons ${\displaystyle \varepsilon _{\phi }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}}$ le vecteur unitaire colinéaire à ${\displaystyle e_{\phi }}$, et ${\displaystyle \varepsilon _{\theta }=e_{\theta }}$, de sorte que ${\displaystyle (\varepsilon _{\theta },\varepsilon _{\phi })}$ constitue une base orthonormée du plan tangent à la sphère au point considéré. On peut montrer que :

${\displaystyle \nabla _{e_{\phi }}\varepsilon _{\theta }=\cos(\theta )\varepsilon _{\phi }}$ et ${\displaystyle \nabla _{e_{\phi }}\varepsilon _{\phi }=-\cos(\theta )\varepsilon _{\theta }}$

Cela signifie que, si on se déplace le long du parallèle ${\displaystyle \theta }$ de la sphère, la longitude ${\displaystyle \phi }$ étant variable, la base orthonormée ${\displaystyle (\varepsilon _{\theta },\varepsilon _{\phi })}$ tourne à la vitesse angulaire ${\displaystyle \cos(\theta )}$ par rapport à une base qui serait transportée parallèlement le long du parallèle. Réciproquement, un champ Y sera transporté parallèlement le long du parallèle s'il tourne à la vitesse angulaire ${\displaystyle -\cos(\theta )}$ par rapport à la base orthonormée ${\displaystyle (\varepsilon _{\theta },\varepsilon _{\phi })}$. Sur l'équateur, la rotation est nulle. Aux pôles, elle est maximale. C'est ce phénomène qui est observé dans l'expérience du pendule de Foucault, dont le plan d'oscillation se transporte parallèlement le long du parallèle où il est situé avec la rotation de la Terre.

Les points qu'on vient de soulever s'expliquent plus facilement dans l'ordre inverse, en partant des motivations fournies par la théorie des surfaces. Dans cette théorie, bien que les plans roulant sur la surface soient des plans tangents au sens naïf, la notion d'espace tangent est une notion infinitésimale[7], alors que les plans, en tant que sous-espaces affines de R³, s'étendent à l'infini. Cependant, ces plans affines ont tous une origine naturelle, leur point de contact avec la surface. La confusion se fait donc naturellement, puisqu'un espace affine muni d'un point origine s'identifie avec l'espace vectoriel de ses vecteurs, et donc avec l'espace tangent en ce point. Cependant, le transport parallèle défini par le roulement ne conserve pas cette origine ; c'est une transformation affine et non linéaire (mais le transport parallèle linéaire s'obtient en composant avec une translation).

De façon plus abstraite, une variété affine devrait donc être définie comme une variété M de dimension n, munie en chaque point x d'un espace affine A_x (de dimension n également), « attaché » à cet x par un point a_x ∈ A_x, la variété affine étant munie également d'un transport parallèle, c'est-à-dire d'une méthode pour transporter les éléments de ces espaces affines le long d'une courbe (lisse) quelconque C de M. Cette méthode doit satisfaire plusieurs propriétés :

1. pour deux points quelconques x et y de C, le transport parallèle est une transformation affine de A_x vers A_y;
2. le transport parallèle doit être différentiable en tout point x de C et sa dérivée ne doit dépendre que du vecteur tangent à C en ce point;
3. cette dérivée doit déterminer un isomorphisme (linéaire) entre T_xM et ${\displaystyle T_{a_{x}}A_{x}.}$

Il est assez difficile d'exprimer rigoureusement ces deux dernières conditions[8], c'est pourquoi les connexions affines sont le plus souvent définies de façon infinitésimale. Pour cette approche, il suffit de voir comment les systèmes de coordonnées affines se transforment dans un transport parallèle infinitésimal (c'est l'origine de la méthode des repères mobiles (en) de Cartan). Un repère affine en un point est une liste (p, e₁, ..., e_n), où p ∈ A_x[9] et les e_i forment une base de T_p(A_x). La connexion affine est alors donnée symboliquement par un système différentiel du premier ordre

${\displaystyle (*)\left\{{\begin{matrix}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}{\mathbf {e} }_{1}+\cdots +\theta ^{n}{\mathbf {e} }_{n}&\\\mathrm {d} {\mathbf {e} }_{i}&=\omega _{i}^{1}{\mathbf {e} }_{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}{\mathbf {e} }_{n},&\quad i=1,2,\ldots ,n\end{matrix}}\right.}$

défini par un ensemble de 1-formes (θ^j, ω_i^j). Géométriquement, un repère affine se déplaçant le long d'une courbe γ en allant de γ(t) à γ(t + δt) est transformé approximativement (ou infinitésimalement) par

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))&={\bigl (}\theta ^{1}(\gamma '(t)){\mathbf {e} }_{1}+\cdots +\theta ^{n}(\gamma '(t)){\mathbf {e} }_{n}{\bigr )}\mathrm {\delta } t&\\{\mathbf {e} }_{i}(\gamma (t+\delta t))-{\mathbf {e} }_{i}(\gamma (t))&={\bigl (}\omega _{i}^{1}(\gamma '(t)){\mathbf {e} }_{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}(\gamma '(t)){\mathbf {e} }_{n}{\bigr )}\delta t.\end{matrix}}\right.}$

De plus, les espaces affines A_x doivent être tangents à M au sens (informel) où le déplacement de a_x le long de γ peut être identifié (à la limite) avec le vecteur tangent γ’(t) à γ en x = γ(t) (c'est-à-dire avec le déplacement infinitésimal de x). Comme

a_x(γ(t + δt)) - a_x(γ(t)) = θ(γ'(t))δt,

où θ est défini par θ(X) = θ¹(X)e₁ + ... + θⁿ(X)e_n, cette identification est donnée par θ ; cette condition revient donc à demander que θ soit un isomorphisme linéaire en chaque point.

L'espace affine tangentiel A_x est ainsi identifié avec un voisinage infinitésimal affine de x.

Le point de vue moderne précise toutes ces intuitions en utilisant des fibrés principaux (l'idée essentielle est de remplacer un repère, « fixe » ou « mobile » par l'espace de tous les repères et par des fonctions définies sur cet espace). Il s'inspire également du programme d'Erlangen[10], dans lequel une « géométrie » est définie comme étant un espace homogène. Un espace affine est une « géométrie » de ce point de vue, et est muni d'une connexion de Cartan plate (sans courbure). Ainsi, une variété affine générale peut être vue comme une déformation courbant ce modèle plat.

On peut voir un espace affine comme étant un espace vectoriel dont on aurait supprimé l'origine. En conséquence, les points de l'espace ne peuvent s'additionner, mais on peut ajouter un vecteur v à un point p, l'opération p → p + v étant la translation de vecteur v. Plus rigoureusement, un espace affine de dimension n est un ensemble Aⁿ muni d'une action transitive libre du groupe des vecteurs Rⁿ : Aⁿ est ainsi un espace principal homogène (en) pour le groupe Rⁿ.

Le groupe général linéaire GL(n) est le groupe de transformations de Rⁿ qui conserve la structure linéaire de Rⁿ au sens où T(av + bw) = aT(v) + bT(w). Par analogie, le groupe affine Aff(n) est défini comme le groupe de transformations de Aⁿ qui conserve la structure affine. Ainsi, φ ∈ Aff(n) doit conserver les translations au sens où

${\displaystyle \phi (p+v)=\alpha (p)+T(v)\,}$

pour T application linéaire quelconque. L'application envoyant φ ∈ Aff(n) vers T ∈ GL(n) est un morphisme de groupes. Son noyau est le groupe des translations Rⁿ. Le stabilisateur d'un point p de A peut ainsi être identifié avec GL(n) : cela réalise le groupe affine comme produit semi-direct de GL(n) et de Rⁿ, et l'espace affine comme l'espace homogène Aff(n)/GL(n).

Un repère affine de A consiste en un point p ∈ A et une base (e₁,...,e_n) de l'espace vectoriel T_pA = Rⁿ. Le groupe général linéaire GL(n) agit librement sur l'ensemble FA des repères affines en fixant p et en transformant la base (e₁, ..., e_n) de la manière usuelle, et l'application π envoyant un repère affine (p ; e₁,...,e_n) sur p est l'application quotient. Ainsi, FA est un GL(n)-fibré principal au-dessus de A. L'action de GL(n) s'étend naturellement à une action transitive libre du groupe affine Aff(n) sur FA, et donc FA est un Aff(n)-torseur (en), et le choix d'un repère de référence identifie FA →A avec le fibré principal Aff(n) → Aff(n)/GL(n).

On peut définir sur FA un ensemble de n + 1 fonctions par

${\displaystyle \pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=p}$ (comme précédemment)

${\displaystyle \epsilon _{i}(p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} _{i}.}$

Fixant une origine pour A, ces fonctions sont à valeurs dans Rⁿ ; il est donc possible de prendre leurs dérivées extérieures, obtenant des 1-formes différentielles à valeurs dans Rⁿ. Les fonctions ε_i fournissant une base de Rⁿ en chaque point de FA, ces 1-formes doivent pouvoir s'exprimer comme des sommes de la forme

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{matrix}}}$

pour un certain ensemble (θⁱ, ω_j^k)_{1≤i,j,k≤n} de 1-formes à valeurs réelles sur Aff(n). Ce système de 1-formes sur le fibré principal FA → A définit la connexion affine sur A.

Prenant une seconde fois la dérivée extérieure, et utilisant le fait que d² = 0 ainsi que l'indépendance linéaire des ε_i, on obtient les relations suivantes :

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _{i}\omega _{i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\\mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0.\end{matrix}}}$

Ce sont les équations de Maurer-Cartan pour le groupe de Lie Aff(n) (identifié avec FA par le choix d'un repère de référence). De plus :

• le système pfaffien (en) θ^j = 0 (pour tout j) est intégrable (en), et ses variétés intégrales sont les fibres du fibré principal Aff(n) → A.
• le système pfaffien ω_i^j = 0 (pour tous i, j) est également intégrable, et ses variétés intégrales définissent le transport parallèle dans FA.

Ainsi, les formes (ω_i^j) définissent une connexion principale (en) sur FA → A.

Pour compléter les motivations initiales, on doit également définir le transport parallèle dans un Aff(n)-fibré principal au-dessus de A. Cela peut se faire en tirant en arrièreFibré induit FA par l'application φ : Rⁿ × A → A définie par les translations. Alors le composé φ*FA→FA → A est un Aff(n)-fibré principal au-dessus de A, et les formes (θⁱ,ω_j^k) induisent une Aff(n)-connexion principale plate sur ce fibré.

Un espace affine est une variété munie d'une connexion de Cartan plate. Des variétés (ou des géométries) affines plus générales sont obtenues en supprimant la condition de platitude exprimée par les équations de Maurer-Cartan. Il y a plusieurs façons d'aborder la définition ; nous allons en donner deux. On les comprendra plus facilement en remarquant que les 1-formes (θⁱ,ω_j^k) du modèle plat se regroupent pour donner une 1-forme à valeurs dans l'algèbre de Lie aff(n) du groupe affine Aff(n).

Dans ces définitions, M est une variété différentielle de dimension n, et A = Aff(n)/GL(n) est un espace affine de même dimension.

Soit M une variété, et P un GL(n)-fibré principal au-dessus de M. Une connexion affine est une 1-forme η sur P à valeurs dans aff(n) vérifiant les propriétés suivantes :

1. η est équivariant (en) pour l'action de GL(n) sur P et sur aff(n) ;
2. η(X_ξ) = ξ pour tous les ξ de l'algèbre de Lie gl(n) des matrices n × n ;
3. η est un isomorphisme (linéaire) de chaque espace tangent de P avec aff(n).

Cette dernière condition signifie que η est un parallélisme absolu sur P, c'est-à-dire qu'elle identifie le fibré tangent de P avec un fibré trivial (dans ce cas, avec P × aff(n)). Le couple (P, η) définit une structure de géométrie affine sur M, ce qui en fait une variété affine.

L'algèbre de Lie affine aff(n) se factorise en un produit semi-direct de Rⁿ et gl(n), et η peut donc s'écrire comme un couple (θ, ω), où θ prend ses valeurs dans Rⁿ et ω les prend dans gl(n). Les conditions (1) et (2) sont équivalentes à ce que ω soit une GL(n)-connexion principale et θ une 1-forme horizontale équivariante, ce qui construit un homomorphisme de fibrés (en) de TM vers le fibré associé P ×_GL(n)Rⁿ. La condition (3) équivaut à ce que cet homomorphisme soit un isomorphisme (cependant, l'existence de cette décomposition est conséquence de la structure particulière du groupe affine). Comme P est le fibré des repères de P × _GL(n) Rⁿ, il s'ensuit que θ construit un isomorphisme de fibrés entre P et FM, le fibré des repères de M ; on retrouve ainsi la définition d'une connexion affine comme étant une GL(n)-connexion principale sur FM.

Les 1-formes qui apparaissent dans le modèle plat sont simplement les composantes de θ et ω.

Une connexion affine sur M est un Aff(n)-fibré principal Q au-dessus de M, sur lequel sont donnés un GL(n)-sous-fibré principal P de Q et une Aff(n)-connexion principale α (c'est-à-dire une 1-forme sur Q à valeurs dans aff(n)) qui vérifie la condition de Cartan (générique) suivante : la composante dans Rⁿ de la restriction de α à P est une 1-forme horizontale équivariante, et définit donc un homomorphisme de fibrés allant de TM vers P ×_GL(n) Rⁿ : la condition de Cartan veut que ce soit un isomorphisme.

Puisque Aff(n) agit sur A, il y a, associé au fibré principal Q, un fibré A = Q ×_Aff(n) A, lequel est un fibré au-dessus de M dont la fibre en x (de M) est un espace affine A_x. Une section a de A (définissant un point marqué a_x de A_x pour chaque x ∈ M) détermine un GL(n)-sous-fibré principal P de Q (comme fibré des stabilisateurs de ces points marqués), et réciproquement. La connexion principale α définit une connexion d'Ehresmann sur ce fibré, et donc une notion de transport parallèle. La condition de Cartan garantit le déplacement, dans ce transport parallèle, de la section a ainsi distinguée.

La courbure et la torsion sont les principaux invariants des connexions affines. Comme on peut définir les connexions affines de nombreuses manières équivalentes, il y a de même de multiples définitions de ces invariants.

Du point de vue des connexions de Cartan, la courbure mesure la façon dont la connexion η ne satisfait pas l'équation de Maurer-Cartan

${\displaystyle \mathrm {d} \eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,}$

où le second terme de gauche est le produit extérieur, utilisant le crochet de Lie (en) dans aff(n) pour contracter les valeurs. En écrivant η comme le couple (θ,ω), et en utilisant la structure de l'algèbre de Lie aff(n), on peut réécrire le membre de gauche

${\displaystyle \mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta }$

${\displaystyle \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega ,}$

où les produits extérieurs sont calculés en utilisant la multiplication des matrices. La première expression s'appelle la torsion de la connexion, et la seconde sa courbure.

Ces expressions sont des 2-formes différentielles sur l'espace total d'un fibré des repères, mais elles sont horizontales et équivariantes, et définissent donc des objets tensoriels. Ceux-ci peuvent être définis directement à partir de ∇, la dérivée covariante sur TM, de la manière suivante :

• La torsion est donnée par la formule

${\displaystyle T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].}$

Si la torsion est nulle, la connexion est dite sans torsion ou symétrique.

• La courbure est donnée par la formule

${\displaystyle R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

Lorsque la courbure et la torsion sont nulles, la connexion définit une structure de pré-algèbre de Lie (en) sur l'espace des sections globales du fibré tangent.

Si (M,g) est une variété riemannienne, il existe une connexion affine unique ∇ sur M telle que :

• la connexion est sans torsion, c'est-à-dire que T^∇ est nul ;
• le transport parallèle est une isométrie, c'est-à-dire que les produits scalaires entre vecteurs tangents (définis à l'aide de g) sont conservés.

Cette connexion s'appelle la connexion de Levi-Civita.

La seconde condition signifie que cette connexion est une connexion métrique (en), c'est-à-dire que la métrique riemannienne g est parallèle : ∇g = 0. En coordonnées locales, les composantes de la forme de connexion sont appelées des symboles de Christoffel ; la connexion de Levi-Civita étant unique, on peut formuler ces composantes en termes de celles de g.

Les lignes droites étant un concept géométrique affine, on s'attend à ce que les connexions affines permettent de définir sur n'importe quelle variété affine une notion généralisée de lignes droites (paramétriques), appelées géodésiques affines. D'un point de vue linéaire, une connexion affine sur M permet de caractériser les géodésiques de la façon suivante : une courbe lisse γ : I → M est une géodésique affine si ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ se transporte parallèlement le long de ${\displaystyle \gamma }$, c'est-à-dire que

${\displaystyle \tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)}$

où τ_t^s : T_γsM → T_γtM est l'application de transport parallèle définissant la connexion.

Exprimée à l'aide de la connexion infinitésimale ∇, la dérivée de cette équation implique

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$ pour tous les t ∈ I.

Réciproquement, toute solution de cette équation différentielle est une courbe dont le vecteur tangent reste parallèle à lui-même le long de la courbe. Pour tout x ∈ M et tout X ∈ T_xM, il existe une unique géodésique affine γ : I → M telle que γ(0) = x et

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=X}$,

où I est l'intervalle ouvert maximal de R, contenant 0, sur lequel la géodésique est définie. Cela résulte du théorème de Cauchy-Lipschitz, et permet de définir une application exponentielle associée à la connexion affine.

En particulier, lorsque M est une (pseudo-)variété riemannienne et ∇ est la connexion de Levi-Civita, les géodésiques affines sont les géodésiques usuelles de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire les courbes minimisant localement la distance.

On dit parfois que les géodésiques définies ici sont affinement paramétrées, puisqu'une géodésique donnée de M détermine une courbe paramétrée γ unique à un changement affine de paramètre près γ(t) → γ(at + b), avec a et b constantes. Le vecteur tangent à une géodésique affine reste équipollent (et donc parallèle) à lui-même tout le long de celle-ci. Si l'on ne garde que la condition de parallélisme, sans exiger l'équipollence, il suffit que soit vérifiée l'équation

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=k{\dot {\gamma }}}$

pour une certaine fonction k définie sur γ. De telles géodésiques non paramétrées sont souvent étudiées du point de vue des connexions projectives (en).

Une connexion affine permet de définir une notion de développement (en) des courbes (à ne pas confondre, ni avec la développée, ni avec la développante). Intuitivement, le développement correspond à la vision du plan tangent en un point x_t d'une courbe de M roulant (sans glisser) sur la courbe. Dans ce mouvement, le point de contact initial x₀ décrit une courbe C_t du plan tangent, le développement de x_t.

Pour formaliser cette idée, soit τ_t⁰ : T_xtM → T_x0M l'application (linéaire) de transport parallèle associée à la connexion affine. Alors le développement C_t est la courbe de T_x0M d'origine 0 et parallèle à la tangente à la courbe en x_t pour tout t :

${\displaystyle {\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0.}$

En particulier, x_t est une géodésique si et seulement si son développement est une droite (affinement paramétrée ) deT_x0M[11].

Notons ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ le produit scalaire habituel sur R³, et ${\displaystyle S^{2}}$ la sphère unité. Le plan tangent à ${\displaystyle S^{2}}$ en un point x s'identifie naturellement avec le sous-espace de R³ formé des vecteurs orthogonaux à x. Il s'ensuit qu'un champ de vecteurs ${\displaystyle Y}$ sur ${\displaystyle S^{2}}$ peut être vu comme une application

${\displaystyle Y:S^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},}$

qui vérifie

${\displaystyle \langle Y_{x},x\rangle =0,\forall x\in S^{2}.}$

Notons dY la différentielle de cette application. On a :

Lemme. La formule

${\displaystyle (\nabla _{X}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(X)+\langle X_{x},Y_{x}\rangle x\,}$

définit une connexion affine sans torsion sur ${\displaystyle S^{2}}$.

Démonstration. Un calcul direct montre que ∇ satisfait l'identité de Leibniz et est ${\displaystyle C^{\infty }(S^{2})}$, linéaire par rapport à la première variable. Il suffit donc de montrer que l'application précédente définit un champ de vecteurs tangents. Autrement dit, nous devons montrer que pour tous les x de ${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle \langle (\nabla _{X}Y)_{x},x\rangle =0\qquad (1).}$

Considérons l'application

${\displaystyle {\begin{aligned}f:\ &S^{2}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\longmapsto &\langle Y_{x},x\rangle .\end{aligned}}}$

${\displaystyle f}$ est constante, et donc sa différentielle est identiquement nulle. En particulier

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(X)=\langle (\mathrm {d} Y)_{x}(X),x\rangle +\langle Y_{x},X_{x}\rangle =0.\,}$

L'équation (1) en résulte immédiatement. ${\displaystyle \Box \,}$

• (de) Elwin Bruno Christoffel, « Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 70,‎ 1869, p. 46-70
• (it) Tullio Levi-Civita, « Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana », Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 42,‎ 1917, p. 73-205
• Élie Cartan, « Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie) », Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, vol. 40,‎ 1923, p. 325–412 (lire en ligne)
• Élie Cartan, « Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) », Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, vol. 41,‎ 1924, p. 1-25 (lire en ligne)
  L'approche initiale de Cartan, motivée par la relativité générale. Contient une discussion détaillée de la physique des référentiels, et de la façon dont la connexion modélise la notion physique de transport le long d'une ligne d'univers.
• Élie Cartan, « Espaces à connexion affine, projective et conforme », Acta Mathematica, vol. 48,‎ 1926, p. 1–42 (DOI 10.1007/BF02629755)
  Une description plus motivée mathématiquement.
• Élie Cartan, Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, Gauthier-Villars, 1928 (2^e éd. : 1946) ; (en) traduction de James Glazebrook, avec des appendices par Robert Hermann
  Le point de vue de la géométrie riemannienne. Les appendices de Robert Hermann discutent les motivations venant de la théorie des surfaces, ainsi que les connexions au sens moderne de Koszul, développant les propriétés de base de l'opérateur différentiel ∇, et les reliant aux connexions « classiques » au sens de Cartan.
• (de) Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie, Springer, Berlin, 1918 (5 éditions jusqu'en 1923)
  La connexion affine apparaît pour la première fois dans la 3^e édition de 1919. Traduit en français par Temps, espace, matière. Leçons sur la théorie de la relativité générale, Blanchard, 1922 sur la 4^e édition. (Réimpression : Blanchard, 1979 (ISBN 978-2-85367033-3).

• (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, vol. 1 & 2, Wiley-Interscience, 1996 (ISBN 0-471-15733-3)
  C'est la référence principale utilisée pour les détails techniques de cet article. Le chapitre III du volume 1 expose de façon détaillée les connexions affines du point de vue des fibrés principaux sur une variété, du transport parallèle, du développement, des géodésiques, et des opérateurs différentiels associés. Le chapitre VI du volume 1 expose les transformations affines, la torsion et la théorie générale de la géodésie affine. Le volume 2 donne un certain nombre d'applications des connexions aux espaces homogènes et aux variétés complexes, ainsi qu'à d'autres sujets liés.
• (en) Ü. Lumiste, « Affine connection », Encyclopædia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers,‎ 2001a (lire en ligne)
• (en) Ü. Lumiste, « Connections on a manifold », Encyclopædia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers,‎ 2001b (lire en ligne)
  Deux articles précisant les conditions sur les applications de transport parallèle pour qu'elles définissent des connexions affines. Ils traitent également des questions de courbure, de torsion, et d'autres sujets standards, d'un point de vue classique.
• (en) R. W. Sharpe, Differential Geometry : Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer Verlag, 1997, 426 p. (ISBN 978-0-387-94732-7, lire en ligne)
  Donnant un exposé de l'historique, et une approche élémentaire des connexions de Cartan. L'appendice A précise les relations entre le point de vue du parallélisme absolu et les connexions principales. L'appendice B relie le modèle classique du « roulement sans glissement » et le point de vue moderne basé sur les fibrés principaux et les opérateurs différentiels.