Forme de connexion

Soient :

• ${\displaystyle G}$, un groupe de Lie ;
• ${\displaystyle e\in G}$, l'élément identité de ${\displaystyle G}$ ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G}$ l'algèbre de Lie de ${\displaystyle G}$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$, la représentation adjointe de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ;
• ${\displaystyle B}$, une variété différentielle ;
• ${\displaystyle \pi :P\to B}$, un ${\displaystyle G}$-fibré principal sur ${\displaystyle B}$.

Dénotons l'action de groupe à droite de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle P}$ par :

${\displaystyle \Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)}$

de sorte que ${\displaystyle a\cdot \lambda =\Phi _{\lambda }(a)}$ pour tout ${\displaystyle a\in P}$ et tout ${\displaystyle \lambda \in G}$. La différentielle à l'identité de ${\displaystyle \Phi }$ est l'application qui envoie un élément ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ à son champ vectoriel fondamental ${\displaystyle \xi ^{\bullet }}$ sur ${\displaystyle P}$ :

${\displaystyle \Phi _{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(P);\xi \mapsto \xi ^{\bullet }}$

Définition : Une 1-forme de connexion sur ${\displaystyle P}$ est une 1-forme différentielle ${\displaystyle A}$ sur ${\displaystyle P}$ qui est à valeurs en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ et qui vérifie les axiomes suivants :

1. ${\displaystyle A}$ est ${\displaystyle \mathrm {Ad} }$-équivariante, i.e. :

${\displaystyle (\Phi _{\lambda })^{*}A=\mathrm {Ad} _{\lambda }^{-1}\circ A,\qquad \forall \lambda \in G}$

2. ${\displaystyle A}$ est l'application inverse de l'application envoyant ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ à son champ vectoriel fondamental ${\displaystyle \xi ^{\bullet }}$, i.e. :

${\displaystyle A(\xi ^{\bullet })=\xi ,\qquad \forall \xi \in {\mathfrak {g}}}$

Sur ${\displaystyle P}$ repose une distribution verticale canonique ${\displaystyle V\subset TP}$ qui est intégrable et dont les feuilles sont les ${\displaystyle G}$-fibres de ${\displaystyle P}$. Une connexion d'Ehresmann sur ${\displaystyle P}$ est une distribution horizontale ${\displaystyle H\subset TP}$ qui satisfait trois axiomes :

1. ${\displaystyle V+H=TP}$

2. ${\displaystyle V\cap H=\{0\}}$

3. ${\displaystyle H}$ est ${\displaystyle G}$-invariante, i.e. :

${\displaystyle (\Phi _{\lambda })_{*}(v)\in H,\qquad \forall \lambda \in G,\;\forall v\in H}$

La relation entre la notion de connexion d'Ehresmann et de forme de connexion se résume à ce qu'une distribution horizontale donnée soit la distribution noyau d'une forme de connexion donnée :

${\displaystyle H=\ker(A)}$

L'axiome d'${\displaystyle \mathrm {Ad} }$-équivariance d'une forme de connexion ${\displaystyle A}$ est équivalent à l'axiome de ${\displaystyle G}$-invariance de la distribution horizontale ${\displaystyle H}$.

Définition : Considérons une 1-forme de connexion ${\displaystyle A}$ sur ${\displaystyle P}$. La projection verticale et la projection horizontale de ${\displaystyle A}$ sont respectivement données en tout ${\displaystyle a\in P}$ et tout ${\displaystyle v\in T_{a}P}$ par :

${\displaystyle \mathrm {ver} :T_{a}P\to V_{a};v\mapsto ((A(v))^{\bullet })_{a}}$

${\displaystyle \mathrm {hor} :T_{a}P\to H_{a};v\mapsto v-\mathrm {ver} (v)}$

Ce faisant, tout vecteur tangent sur ${\displaystyle P}$ se décompose de manière unique comme :

${\displaystyle v=\mathrm {ver} (v)+\mathrm {hor} (v)}$

Soient :

• ${\displaystyle \mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}}$, le fibré adjoint de ${\displaystyle P}$ ;
• ${\displaystyle \wedge$ :\Omega ^{p}(P;\mathbb {R} )\times \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} )\to \Omega ^{p+q}(P;\mathbb {R} )} le produit extérieur sur les ${\displaystyle k}$-formes différentielles réelles sur ${\displaystyle P}$ ;
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ;
• ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(P;{\mathfrak {g}})\times \Omega ^{q}(P;{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{p+q}(P;{\mathfrak {g}})}$ le produit wedge-crochet sur les ${\displaystyle k}$-formes différentielles à valeurs en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sur ${\displaystyle P}$, défini par les combinaisons linéaires de :

${\displaystyle [(\alpha _{1}\otimes \xi _{1})\wedge (\alpha _{2}\otimes \xi _{2})]:=(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2})\otimes [\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \alpha _{1}\in \Omega ^{p}(P;\mathbb {R} ),\;\alpha _{2}\in \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} ),\;\xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}}$

Définition : La 2-forme de courbure sur ${\displaystyle P}$ d'une forme de connexion ${\displaystyle A}$ est par définition :

${\displaystyle F_{A}^{\sharp }=(dA)_{\mathrm {hor} }=(dA)(\mathrm {hor} (\cdot ),\mathrm {hor} (\cdot ))}$

Remarque : La 2-forme de courbure sur ${\displaystyle P}$ peut aussi s'écrire comme :

${\displaystyle F_{A}^{\sharp }:=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}$

Définition : La 2-forme de courbure étant une forme basique, elle descend à la 2-forme de courbure sur ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)}$

Soient :

• ${\displaystyle V}$, un espace vectoriel ;
• ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (V)}$, une représentation linéaire de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle V}$ ;
• ${\displaystyle E:=P\times _{\rho }V}$, un ${\displaystyle V}$-fibré vectoriel associé.

À une section ${\displaystyle \psi \in \Gamma (E)}$ du fibré ${\displaystyle E}$ correspond une fonction ${\displaystyle \rho }$-équivariante ${\displaystyle \psi ^{\sharp }:P\to V}$. De même, à toute fonction ${\displaystyle \rho }$-équivariante ${\displaystyle \psi ^{\sharp }}$ sur ${\displaystyle P}$ descend à une section de ${\displaystyle E}$.

Définition : La dérivée covariante sur ${\displaystyle P}$ d'une fonction ${\displaystyle \rho }$-équivariante ${\displaystyle \psi ^{\sharp }:P\to V}$ est :

${\displaystyle d^{A}\psi ^{\sharp }:=(d\psi ^{\sharp })_{\mathrm {hor} }=(d\psi ^{\sharp })(\mathrm {hor} (\cdot ))\in \Omega ^{1}(P;V)}$

Remarque : La dérivée covariante sur ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle \psi ^{\sharp }}$ peut aussi s'écrire :

${\displaystyle d^{A}\psi ^{\sharp }=d\psi ^{\sharp }+(\rho _{*}|_{e}(A))\psi ^{\sharp }}$

où ${\displaystyle \rho _{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} (V)}$ est la représentation infinitésimale correspondant à la représentation ${\displaystyle \rho }$.

La dérivée covariante sur ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle \psi \in \Gamma (E)}$ est :

${\displaystyle d_{A}\psi$ :=(d^{A}\psi ^{\sharp })_{\sharp }\in \Omega ^{1}(B;E)}

Remarque : Donnée une section trivialisante locale ${\displaystyle s_{\mu }:(U_{\mu }\subset B)\to (\pi ^{-1}(U_{\mu })\subset P)}$, la dérivée covariante de ${\displaystyle \psi \in \Gamma (E)}$ s'écrit explicitement comme :

${\displaystyle (d_{A}\psi )_{\mu }=d\psi _{\mu }+(\rho _{*}|_{e}(A_{\mu }))\psi _{\mu }}$

où :

• ${\displaystyle (d_{A}\psi )_{\mu }:=s_{\mu }^{*}(d^{A}\psi ^{\sharp })\in \Omega ^{1}(U_{\mu };V)}$ ;
• ${\displaystyle \psi _{\mu }:=s_{\mu }^{*}\psi ^{\sharp }\in \Omega ^{0}(U_{\mu };V)}$ ;
• ${\displaystyle A_{\mu }:=s_{\mu }^{*}A\in \Omega ^{1}(U_{\mu };{\mathfrak {g}})}$.

Pour cette raison, la dérivée covariante est souvent dénotée, par abus de notation, plus simplement :

${\displaystyle d_{A}=d+A_{\mu }}$

Aussi, la dérivée covariante est souvent dénotée ${\displaystyle \nabla }$. Pour ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(B)}$, un champ vectoriel, on a :

${\displaystyle \nabla _{X}=\iota _{X}d_{A}}$

Enfin, notons que la notion de dérivée covariante se généralise directement à la notion de dérivée covariante extérieure sur les ${\displaystyle k}$-formes différentielles à valeurs en le fibré associé ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle d_{A}:\Omega ^{k}(B;E)\to \Omega ^{k+1}(B;E)}$

Définition : Un relevé horizontal d'une courbe différentiable ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to B} est une courbe ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ telle que pour tout ${\displaystyle t\in [0,1]}$ on ait:

${\displaystyle \pi \circ {\tilde {\gamma }}(t)=\gamma (t)}$

${\displaystyle A|_{{\tilde {\gamma }}(t)}({\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=0}$.

Soient :

• ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to B} une courbe différentiable paramétrée en ${\displaystyle B}$ telle que ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$;
• ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ un relevé horizontal de ${\displaystyle \gamma }$ pour la connexion ${\displaystyle A}$.

Définition : L'holonomie de la connexion ${\displaystyle A}$ pour le lacet ${\displaystyle \gamma }$ en ${\displaystyle B}$ est par définition l'unique ${\displaystyle \lambda \in G}$ tel que :

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)={\tilde {\gamma }}(0)\cdot \lambda }$

Soient :

• ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to B} et ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ un de ses relevés horizontaux ;
• ${\displaystyle x_{0}=\gamma (0)}$ et ${\displaystyle x_{1}=\gamma (1)}$ ;
• ${\displaystyle v\in E_{x_{0}}}$, un élément du fibré ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle x_{0}}$ ;
• ${\displaystyle v^{\sharp }:\pi ^{-1}(x_{0})\to V}$, l'application ${\displaystyle \rho }$-équivariante correspondant à ${\displaystyle v}$ ;
• ${\displaystyle w^{\sharp }:\pi ^{-1}(x_{1})\to V}$, l'unique application ${\displaystyle \rho }$-équivariante telle que :

${\displaystyle w^{\sharp }\circ {\tilde {\gamma }}(1)=v^{\sharp }\circ {\tilde {\gamma }}(0)}$

Définition : Le transport parallèle de ${\displaystyle v\in E}$ le long du chemin ${\displaystyle \gamma }$ pour la connexion ${\displaystyle A}$ est par définition :

${\displaystyle w:=(w^{\sharp })_{\sharp }\in E_{x_{1}}}$

• Pour un traitement en détail de ce qui précède, voir :

  (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963.

• Pour un cours accessible avec exercices sur la théorie de jauge, voir :

  (en) José Figueroa-O’Farrill, Lectures on Gauge Theory, 2006

• Pour aller plus loin en théorie de jauge, voir :

  (en) S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986.

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