Relevé horizontal

Soient :

• ${\displaystyle G}$, un groupe de Lie ;
• ${\displaystyle B}$, une variété différentielle ;
• ${\displaystyle \pi :P\to B}$, un ${\displaystyle G}$-fibré principal sur ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$, une 1-forme de connexion sur ${\displaystyle P}$ ;
• ${\displaystyle H=\ker(A)}$, la distribution horizontale.

Définition (relevé horizontal d'un vecteur) : Un relevé horizontal d'un vecteur tangent ${\displaystyle v\in TB}$ est un vecteur ${\displaystyle {\tilde {v}}\in TP}$ tel que :

${\displaystyle \pi _{*}({\tilde {v}})=v}$

${\displaystyle A({\tilde {v}})=0}$

Remarque : Le vecteur tangent ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ est horizontal en ce sens qu'il repose en la distribution horizontale ${\displaystyle H}$

Définition (relevé horizontal d'un champ vectoriel) : Le relevé horizontal d'un champ vectoriel ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(B)}$ est le champ vectoriel ${\displaystyle {\tilde {X}}\in {\mathfrak {X}}(P)}$ tel que :

${\displaystyle \pi _{*}({\tilde {X}})=X}$

${\displaystyle A({\tilde {X}})=0}$

Remarque : Le champ vectoriel ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ est horizontal en ce sens qu'il repose partout en la distribution horizontale ${\displaystyle H}$

Définition (relevé horizontal d'un chemin différentiable) : Un relevé horizontal d'une courbe différentiable ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to B} est une courbe ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ telle que pour tout ${\displaystyle t\in [0,1]}$ on ait:

${\displaystyle \pi \circ {\tilde {\gamma }}(t)=\gamma (t)}$

${\displaystyle A|_{{\tilde {\gamma }}(t)}({\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=0}$.

Remarque : La courbe ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ est horizontale en ce sens qu'elle est partout tangente à la distribution horizontale ${\displaystyle H}$.

Définition (relevé horizontal d'une sous-variété) : Soit ${\displaystyle M\subset B}$ une sous-variété. Supposons que la 2-forme de courbure ${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)}$ meurt sur ${\displaystyle M}$. Alors, ${\displaystyle M}$ se relève à une sous-variété horizontale en ${\displaystyle P}$.

(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963

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