Image réciproque (géométrie différentielle)

Avant de passer au cadre des variétés différentielles, l'image réciproque peut être introduite comme une opération d'algèbre multilinéaire. Si u est une application linéaire d'un espace vectoriel E dans F et si ω est une forme k-linéaire sur F, on définit la forme linéaire image réciproque ${\displaystyle u^{\ast }\omega }$, k-linéaire sur E, par la relation

${\displaystyle (u^{\ast }\omega )(v_{1},\dots ,v_{k})=\omega (u(v_{1}),\dots ,u(v_{k}))\qquad {\hbox{(pour tous vecteurs }}v_{1},\dots ,v_{k}{\hbox{ de E)}}}$

On note que pour « ramener ω en arrière », c'est-à-dire sur E, il a fallu au contraire transporter les vecteurs « vers l'avant » ; cela illustre la dualité entre les comportements covariant et contravariant. L'opération image réciproque est de nature fonctorielle ; elle est en effet compatible avec la composition : ${\displaystyle (f\circ g)^{\ast }\omega =(f^{\ast }\circ g^{\ast })\omega .}$ Dans le cas où k=1 (forme linéaire) on retrouve la définition de l'application transposée[1].

Soit une application ${\displaystyle f\in {\cal {C}}^{\infty }(U,V)}$ entre deux ouverts d'espaces euclidiens. On peut introduire l'image réciproque par f d'un champ tensoriel A de type (0,k), c'est-à-dire k fois covariant sur V. Cela fait intervenir l'application linéaire tangente à f : en tout point x de V,

${\displaystyle (f^{\ast }A)_{x}=(T_{x}f)^{\ast }A_{f(x)}}$

soit

${\displaystyle (f^{\ast }A)_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=A_{f(x)}{\bigl (}(T_{x}f)(v_{1}),\dots ,(T_{x}f)(v_{k}){\bigr )}.}$

Et encore, en composantes et avec la convention de sommation d'Einstein[2]

${\displaystyle (f^{\ast }A)_{j_{1},\dots ,j_{k}}={\frac {\partial x^{i_{1}}}{\partial x^{j_{1}}}}\times \dots \times {\frac {\partial x^{i_{k}}}{\partial x^{j_{k}}}}\times A_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$

Cette écriture illustre la compatibilité avec les applications de changements de carte. La notion d'image réciproque peut donc s'étendre aux champs tensoriels de type (0,k) définis sur une variété différentielle.

On se place directement dans le cadre des variétés différentielles en supposant l'application f une application lisse d'une variété M dans une autre N. Mais il peut bien entendu s'agir d'ouverts de l'espace euclidien.

L'opération image réciproque commute avec celle d'antisymétrisation des tenseurs. Il est donc possible d'introduire l'image réciproque d'une forme différentielle, avec la même expression

${\displaystyle (f^{\ast }\omega )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=\omega _{f(x)}{\bigl (}(T_{x}f)(v_{1}),\dots ,(T_{x}f)(v_{k}){\bigr )}.}$.

Le produit extérieur est fonctoriel : ${\displaystyle f^{\ast }(\omega \wedge \nu )=(f^{\ast }\omega )\wedge (f^{\ast }\nu )}$. Lorsque la forme différentielle est de degré 0, c'est-à-dire elle-même une fonction, l'image réciproque n'est autre que la composée ${\displaystyle f^{\ast }\omega =f\circ \omega }$[3].

La dérivée extérieure commute avec l'image réciproque : ${\displaystyle f^{\ast }(\mathrm {d} \omega )=\mathrm {d} (f^{\ast }\omega )}$[4].

Soit ${\displaystyle p:E\to B}$ un fibré vectoriel de base B et une application ${\displaystyle f:A\to B}$. Alors on peut définir un fibré image réciproque ${\displaystyle p':f^{\ast }E\to A}$ qui rende le diagramme suivant commutatif

${\displaystyle {\begin{matrix}f^{\ast }E&\displaystyle \xrightarrow {f'} &E\\p'\downarrow &&p\downarrow \\A&\displaystyle \xrightarrow {f} &B\end{matrix}}}$

avec f' qui réalise, fibre à fibre, un isomorphisme d'espaces vectoriels. Une construction explicite consiste à poser ${\displaystyle f^{\ast }E=\{(a,v)\in A\times E,f(a)=p(v)\}}$, ce qui constitue la définition « étroite » du fibré image réciproque. Mais tous les fibrés qui vérifient ces conditions étant isomorphes, on peut aussi donner une définition « large », à isomorphisme près, qui se révèlera la plus féconde car elle s'exprime dans le langage des catégories[5]^,[6].

En termes imagés, on « ramène la fibre » en ${\displaystyle b\in B}$ sur les points correspondants du nouvel espace de base A. Un exemple très simple est celui où ${\displaystyle A\subset B}$ et où l'on utilise l'injection canonique pour restreindre le fibré à la base A.

En raisonnant toujours à isomorphisme près, l'image réciproque vérifie des propriétés de compatibilité avec les opérations classiques  :

${\displaystyle (fg)^{\ast }(E)\approx g^{\ast }(f^{\ast }E)\qquad f^{\ast }(E_{1}\oplus E_{2})\approx f^{\ast }(E_{1})\oplus f^{\ast }(E_{2})\qquad f^{\ast }(E_{1}\otimes E_{2})\approx f^{\ast }(E_{1})\otimes f^{\ast }(E_{2})}$

Un résultat essentiel pour classifier les fibrés, parfois qualifié de « théorème fondamental des fibrés », est que pour une base A compacte ou paracompacte deux applications homotopes induisent des fibrés isomorphes. Cela prouve notamment que les fibrés vectoriels sur un espace à base contractile sont tous triviaux[7].

On peut tirer de ce théorème une véritable correspondance entre classes d'homotopie et classes d'isomorphismes de fibrés. En effet, pour chaque entier k, il existe un fibré, dit universel, d'où l'on peut tirer tout fibré vectoriel (de base paracompacte, du moins) de fibres de dimension k comme fibré image réciproque. On considère pour cela la variété de Stiefel sur la grassmannienne des k plans dans l'espace de dimension infinie[8] : ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{\infty })\displaystyle \xrightarrow {p} G_{k}(\mathbb {R} ^{\infty })}$. On peut alors prouver que la relation qui à une classe d'homotopie ${\displaystyle [f]\in [X,G_{k}(\mathbb {R} ^{\infty })]}$ associe la classe d'isomorphisme du fibré image réciproque ${\displaystyle f^{\ast }V_{k}(\mathbb {R} ^{\infty })}$ est bien une bijection. Pour cette raison, la grassmannienne est qualifiée d'espace classifiant pour les fibrés vectoriels.

On peut exploiter ce résultat notamment en utilisant le fibré universel comme espace de travail pour établir des résultats qu'on transporte ensuite sur un fibré vectoriel quelconque.

La construction du fibré image réciproque d'un fibré vectoriel peut être étendue dans un contexte plus large : il s'agit de l'opération de produit fibré en théorie des catégories ; le théorème fondamental des fibrés s'étend ainsi à tout type d'espace fibré. En géométrie différentielle, l'usage le plus courant, outre le cas des fibrés vectoriels, est celui des fibrés principaux. Il; existe également une notion d'espace classifiant pour le groupe G.