Équation de Orr-Sommerfeld

On s'intéresse à un écoulement incompressible parallèle décrit par les équations de Navier-Stokes écrites en variables réduites faisant intervenir le nombre de Reynolds basé sur une longueur caractéristique L₀ et une vitesse caractéristique U₀ de l'écoulement

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {V} }}}{\partial {\tilde {t}}}}+({\tilde {\mathbf {V} }}\cdot \nabla _{\tilde {x}}){\tilde {\mathbf {V} }}&=&-\nabla _{\tilde {x}}\,{\tilde {p}}+{\frac {1}{Re}}\nabla _{\tilde {x}}^{2}{\tilde {\mathbf {V} }}\\[0.6em]\nabla _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathbf {V} }}&=&0\\[0.6em]{\tilde {\mathbf {V} }}(\mathbf {x} ,0)&=&{\tilde {\mathbf {V} }}_{0}(\mathbf {x} )\end{array}}}$

La suite ne concernant que les variables adimensionnées on ignorera les tildes sur les variables et le gradient sera noté sans indice.

On superpose à la condition initiale une perturbation d'amplitude faible

${\displaystyle \mathbf {V} (\mathbf {x} ,0)=\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )+\mathbf {V} '(\mathbf {x} )}$

La nouvelle solution du système est (U, q) tel que

${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {V} +\mathbf {V} '\,,\;\;\;q=p+p'}$

En tenant compte de |V'| << |V| et donc négligeant ${\displaystyle (\mathbf {V} '\cdot \nabla )\mathbf {V} '}$ le système portant sur les perturbations s'écrit

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \mathbf {V} '}{\partial t}}+(\mathbf {V} '\cdot \nabla )\mathbf {V} +(\mathbf {V} \cdot \nabla )\mathbf {V} '&\simeq &-\nabla \,p'+{\frac {1}{Re}}\,\nabla ^{2}\mathbf {V} '\\[0.6em]\nabla \cdot \mathbf {V} '&=&0\end{array}}}$

Le système est

• stable si |V'| est borné

${\displaystyle \sup _{\mathbf {x} ,t}|\mathbf {V} '|<\epsilon }$  pour tout   ${\displaystyle f(\epsilon )}$  tel que   ${\displaystyle \sup _{\mathbf {x} }|\mathbf {V} _{0}'|<f}$

• asymptotiquement stable s'il est stable et que de plus

${\displaystyle \lim \limits _{t\rightarrow \infty }|\mathbf {V} '|=0}$

Pour ce qui suit on réduit l'étude de stabilité à un milieu plan parallèle tel que  ${\displaystyle \mathbf {V} =(u,0,0)\,,\;\;\;\mathbf {V} '=(v_{1},v_{2},0)}$

Ainsi que le montre le théorème de Squire[5]^,[6], il n'est pas utile de prendre en compte la composante transverse.

L'équation sur les perturbations devient

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {V} '}{\partial t}}+u\nabla \mathbf {V} '=-\nabla \,p'+{\frac {1}{Re}}\,\nabla ^{2}\mathbf {V} '}$

Plaçons nous d'abord dans le cas non visqueux et introduisons la fonction de courant ψ tel que

${\displaystyle v_{1}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}\,,\;\;\;v_{2}=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}}$

On recherche les solutions sous forme d'ondes de pulsation ω et de vecteur d'onde k

${\displaystyle \Psi =\Phi (k,y,\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,,\;\;\;p'=g(k,y,\omega )e^{i(kx-\omega t)}}$

Une double transformation de Fourier en x et t permet d'écrire

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\omega -uk){\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} y}}+k\Phi {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} y}}&=&kg\\[0.6em](\omega -uk)\Phi &=&{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} y}}\end{array}}}$

Ce système se simplifie pour donner l'équation de Rayleigh (on suppose Ψ et u deux fois différentiables au moins)

${\displaystyle \left(u-{\frac {\omega }{k}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}-k^{2}\Phi \right)-\Phi {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=0}$

L'instabilité impose que l'onde ne soit pas amortie et donc que la partie imaginaire de la vitesse de phase c = ω / k soit positive.

Cette équation doit être résolue avec les conditions aux limites représentatives du problème. Par exemple avec des parois en y₁ et y₂ on a

${\displaystyle \Phi (y_{1})=\Phi (y_{2})=0}$

Le problème est un problème aux valeurs propres admettant des solutions pour des couples (k , ω), solutions de la relation de dispersion f (k , ω) = 0.

La même analyse que ci-dessus avec le terme visqueux pour un problème de Couette ou de Poiseuille conduit à l'équation

${\displaystyle (u-c)\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}-k^{2}\Phi \right)-\Phi {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}={\frac {1}{ikRe}}\left({\frac {\mathrm {d} ^{4}\Phi }{\mathrm {d} y^{4}}}-2k^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}+k^{4}\Phi \right)}$

La relation de dispersion est ici f (k , ω , Re) = 0.

Par résolution numérique, on montre[7] qu'un écoulement de Poiseuille est instable pour Re > 5772.22. Au-delà de cette valeur et pour de très faibles perturbations des ondes de Tollmien-Schlichting apparaissent.

Pour un écoulement de Couette, aucune valeur de Re ne satisfait au critère d'instabilité linéaire.