Équation de Ramanujan-Nagell

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, l'équation de Ramanujan-Nagell est une équation liant un carré parfait comme étant une puissance de deux moins sept. C'est un exemple d'équation diophantienne exponentielle, une équation à résoudre en entiers où l'une des variables apparaît comme un exposant. Celle-ci est nommée d'après Srinivasa Ramanujan, qui a conjecturé qu'il n'a que cinq solutions entières, et d'après Trygve Nagell, qui a prouvé la conjecture.

Équation et solution

L'équation est

2^{n}-7=x^{2}

et les seules solutions en entiers naturels n et x sont n = 3, 4, 5, 7 et 15.

Cette solution a été conjecturée en 1913 par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan[1], proposée indépendamment en 1943 par le mathématicien norvégien Wilhelm Ljunggren[2], et prouvée en 1948 par le mathématicien norvégien Trygve Nagell[3]^,[4]. Les valeurs de x correspondant aux valeurs de n ci-dessus sont respectivement :

x = 1, 3, 5, 11 et 181[5].

Nombres triangulaires de Mersenne

Le problème de trouver tous les entiers de la forme 2^b − 1 (nombre de Mersenne) qui sont des nombres triangulaires est équivalent à l'équation de Ramanujan-Nagell :

{\begin{aligned}2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}.\end{aligned}}

Les valeurs de b dans cette équation sont juste celles de n − 3 dans l'équation de Ramanujan-Nagell, et les nombres de Mersenne triangulaires correspondants (également appelés nombres de Ramanujan-Nagell) sont :

{\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}

pour x = 1, 3, 5, 11 et 181, donnant 0, 1, 3, 15 et 4095 (suite A076046 de l'OEIS).

Équations de type Ramanujan-Nagell

Une équation de la forme

x^{2}+D=AB^{n}

pour D, A , B fixés et d'inconnues x, n est dit de type Ramanujan-Nagell. Un résultat de Carl Siegel implique que le nombre de solutions dans chaque cas est fini[6]. L'équation avec A = 1, B = 2 a au plus deux solutions, sauf si D = 7. Il y a une infinité de valeurs de D pour lesquelles il n'existe que deux solutions[5].

Équations de type Lebesgue-Nagell

Une équation de la forme

x^{2}+D=Ay^{n}

pour D, A fixés et d'inconnues x, y, n est dite de type Lebesgue-Nagell. Ces équations sont nommées d'après Victor-Amédée Lebesgue, qui a prouvé que l'équation

x^{2}+1=y^{n}

n'a pas de solutions non trivales lorsque n est un nombre premier[7]^,[8].

Les résultats de Shorey et Tijdeman[9] impliquent que le nombre de solutions dans chaque cas est fini[10]. Bugeaud, Mignotte et Siksek ont résolu les équations de ce type avec A = 1 et 1 ≤ D ≤ 100[11]. En particulier, la généralisation suivante de l'équation de Ramanujan-Nagell

y^{n}-7=x^{2}

a des solutions entières seulement si x = 1, 3, 5, 11 ou 181.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ramanujan–Nagell equation » (voir la liste des auteurs).

(en) S. Ramanujan, « Question 464 », J. Indian Math. Soc., vol. 5,‎ 1913, p. 130.
(no) W. Ljunggren, « Oppgave nr 2 », Norsk Mat. Tidsskr., vol. 25,‎ 1943, p. 29.
(no) T. Nagell, « Løsning till oppgave nr 2 », Norsk Mat. Tidsskr., vol. 30,‎ 1948, p. 62-64.
(en) T. Nagell, « The Diophantine equation x² + 7 = 2ⁿ », Ark. Mat., vol. 30,‎ 1961, p. 185-187 (DOI 10.1007/BF02592006).
(en) N. Saradha et Anitha Srinivasan, Diophantine Equations, Narosa, 2008, 308 p. (ISBN 978-81-7319-898-4), « Generalized Lebesgue-Ramanujan-Nagell equations », p. 207-223 : p. 208.
Saradha et Srinivasan 2008, p. 207.
M. Lebesgue, « Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation x^m = y² + 1 », Nouv. Ann. Math., 1^re série, vol. 9,‎ 1850, p. 178-181 (lire en ligne).
Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), V. Équations diophantiennes, chap. 3.1 (« Équation de Lebesgue »), p. 487.
(en) T. N. Shorey et R. Tijdeman, Exponential Diophantine equations, vol. 87, Cambridge/London/New York etc., Cambridge University Press, 1986, 240 p. (ISBN 0-521-26826-5, zbMATH 0606.10011), p. 137-138.
Saradha et Srinivasan 2008, p. 211.
(en) Yann Bugeaud, Maurice Mignotte et Samir Siksek, « Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue-Nagell equation », Compos. Math., vol. 142,‎ 2006, p. 31-62 (DOI 10.1112/S0010437X05001739, lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Ramanujan's Square Equation », sur MathWorld
(en) G. Myerson, « Can N² + N - 2 Be A Power Of 2? », sur mathforum.org, 2002

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] (en) S. Ramanujan, « Question 464 », J. Indian Math. Soc., vol. 5,‎ 1913, p. 130.

[2] (no) W. Ljunggren, « Oppgave nr 2 », Norsk Mat. Tidsskr., vol. 25,‎ 1943, p. 29.

[3] (no) T. Nagell, « Løsning till oppgave nr 2 », Norsk Mat. Tidsskr., vol. 30,‎ 1948, p. 62-64.

[4] (en) T. Nagell, « The Diophantine equation x² + 7 = 2ⁿ », Ark. Mat., vol. 30,‎ 1961, p. 185-187 (DOI 10.1007/BF02592006).

[SS208-5] (en) N. Saradha et Anitha Srinivasan, Diophantine Equations, Narosa, 2008, 308 p. (ISBN 978-81-7319-898-4), « Generalized Lebesgue-Ramanujan-Nagell equations », p. 207-223 : p. 208.

[6] Saradha et Srinivasan 2008, p. 207.

[7] M. Lebesgue, « Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation x^m = y² + 1 », Nouv. Ann. Math., 1^re série, vol. 9,‎ 1850, p. 178-181 (lire en ligne).

[boyer-8] Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), V. Équations diophantiennes, chap. 3.1 (« Équation de Lebesgue »), p. 487.

[9] (en) T. N. Shorey et R. Tijdeman, Exponential Diophantine equations, vol. 87, Cambridge/London/New York etc., Cambridge University Press, 1986, 240 p. (ISBN 0-521-26826-5, zbMATH 0606.10011), p. 137-138.

[10] Saradha et Srinivasan 2008, p. 211.

[11] (en) Yann Bugeaud, Maurice Mignotte et Samir Siksek, « Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue-Nagell equation », Compos. Math., vol. 142,‎ 2006, p. 31-62 (DOI 10.1112/S0010437X05001739, lire en ligne).