Équation polaire

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(\mathrm {O} ,{\vec {i}},{\vec {j}})$ . Si $f$ est une fonction numérique, on peut considérer l'ensemble des points M dont un système de coordonnées polaires $(\rho ,\theta )$ vérifient l'équation :

\rho =f(\theta )

.

On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :

\rho =f(\theta )

.

Si $\rho =0$ , on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle $({\vec {i}},{\vec {OM}})$ .

Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle $\left[\theta _{1},\theta _{2}\right]$ est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle $\theta _{1}$ à l'angle $\theta _{2}$ .

Base mobile

On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe $\left({\vec {u}}(\theta ),{\vec {v}}(\theta )\right)$ , obtenue par rotation de θ à partir de la base $\left({\vec {i}},{\vec {j}}\right)$ . Ainsi

{\vec {u}}(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}(\theta )={\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}={\vec {u}}(\theta +{\frac {\pi }{2}})

.

On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.

{\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} \theta }}={\vec {v}}\qquad {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} \theta }}=-{\vec {u}}

.

Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.

Vecteur position

Par définition même des coordonnées polaires, ${\vec {u}}$ est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que ${\vec {OM}}$ et ainsi

{\vec {OM}}=f(\theta ){\vec {u}}

.

Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.

Tangente à la courbe

Si la fonction $f$ est dérivable alors

{\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} \theta }}=f'(\theta ){\vec {u}}(\theta )+f(\theta ){\vec {v}}(\theta )

.

Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à $\theta$ . Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle $V$ entre le vecteur ${\vec {OM}}$ et le vecteur tangent ${\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} \theta }}$ vérifie donc :

\tan V={\frac {f(\theta )}{f'(\theta )}}

si

f'(\theta )\neq 0

,

V=\pm {\frac {\pi }{2}}

si

f'(\theta )=0

.

Abscisse curviligne

Si l'origine est prise en $\theta _{0}$ alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point $M(\theta _{0})$ et $M(\theta _{1})$ , est :

\int _{\theta _{0}}^{\theta _{1}}{\sqrt {f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta

.

Rayon de courbure

Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.

Si la fonction $f$ est deux fois dérivable, et si $2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )$ est non nul, le rayon de courbure est :

{\frac {(f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta ))^{3/2}}{2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )}}

.

Point d'inflexion

Si la fonction $f$ est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité $2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )$ . L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.

Branches infinies

Pour étudier une branche infinie quand $\theta \to \theta _{0}$ , on utilise les coordonnées cartésiennes dans la base $\left({\vec {u}}(\theta _{0}),{\vec {v}}(\theta _{0})\right)$ [1].

Équations polaires paramétriques

Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :

{\vec {V}}={\dot {r}}{\vec {u}}+r{\dot {\theta }}{\vec {v}}

;

{\vec {A}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\vec {u}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\vec {v}}

.

Référence

Jean-Pierre Escofier, Toute l'analyse de la licence, Dunod, 2020 (lire en ligne), p. 447.

Voir aussi

Rosace, Spirale, Limaçon, Lemniscate…

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[1] Jean-Pierre Escofier, Toute l'analyse de la licence, Dunod, 2020 (lire en ligne), p. 447.