Rayon de courbure

Considérons un plan muni d'un repère orthonormé, et un arc dans ce plan.

Si l'arc est défini par une équation paramétrique (x(t ), y(t )), alors le rayon de courbure vaut[1] :

${\displaystyle \rho ={\frac {(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})^{3/2}}{x'y''-y'x''}}\quad {\text{avec}}\quad x'={\frac {dx}{dt}},\quad x''={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad y'={\frac {dy}{dt}}\quad {\mbox{et}}\quad y''={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}$

en particulier en coordonnées polaires, ${\displaystyle x(t)=r(t)\cos(t)}$, ${\displaystyle y(t)=r(t)\sin(t)}$ avec ${\displaystyle r}$ deux fois dérivable,

${\displaystyle \rho ={\frac {(r'^{2}+r^{2})^{3/2}}{2r'^{2}+r^{2}-rr''}}}$

quand le dénominateur est non nul.

Si l'arc est défini par une équation cartésienne y = f(x), alors le rayon vaut :

${\displaystyle \rho (x)=\left|{\frac {(1+y^{\prime 2})^{3/2}}{y''}}\right|}$.

Lorsque la dérivée est faible (y' << 1), c'est-à-dire lorsque la tangente est proche de l'horizontale, on prend souvent l'approximation (1 + y' ²) ≈ 1 et donc

ρ(x) ≈ 1/y''.

• En optique géométrique, le rayon de courbure permet de distinguer différents types de lentilles optiques. En effet, une lentille se compose d’une face d’entrée et de sortie, qui peuvent être courbes ou planes. Ainsi, les lentilles sont classées grâce aux propriétés de symétrie entre les deux faces et selon la valeur de leur rayon de courbure.
• Le rayon de courbure d'une ligne de chemin de fer est souvent limité par un minimum pour permettre aux trains de l'emprunter, ceux-ci ne pouvant pas tourner de façon trop brutale sous peine de dérailler (emportés par leur force d’inertie).