Équations de Boussinesq

Les équations de Boussinesq en mécanique des fluides désignent un système d'équations d'ondes obtenue par approximation des équations d'Euler pour des écoulements incompressibles irrotationnels à surface libre. Elles permettent de prévoir les ondes de gravité comme ondes cnoïdales, ondes de Stokes, houle, tsunamis, solitons, etc. Ces équations ont été introduites par Joseph Boussinesq en 1872[1] et sont un exemple d'équations aux dérivées partielles dispersives.

Ondes de gravité à l'entrée d'un port (milieu à profondeur variable).

Équations d'Euler pour un fluide incompressible irrotationnel soumis à un champ de gravité

Pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ. Les équations d'incompressibilité et de quantité de mouvement s'écrivent

où ρ est la masse volumique, p la pression, g la gravité et z l'altitude.

L'équation de quantité de mouvement contient des cas particuliers intéressants :

Par la suite on supposera la vitesse assez faible pour négliger l'énergie cinétique. On obtient ainsi l'expression de la pression

Milieu à surface libre

Examinons un problème bidimensionnel. On désigne par s(x) l'altitude de la surface par rapport à sa valeur au repos z = 0.

Outre l'équation de continuité on peut écrire une seconde équation à la surface en dérivant la pression. Compte tenu d'une approximation de faible amplitude de l'onde, cette relation est appliquée en z = 0.

Elle constitue une condition aux limites dynamique.

À ce système il faut adjoindre une condition aux limites au fond si celui-ci existe ou lorsque sinon.

La solution est cherchée sous forme d'ondes d'amplitude A en surface de pulsation ω et de nombre d'onde k

On examine ci-après deux cas particuliers qui éclairent le problème.

Milieu infiniment profond

Trajectoires d'une particule fluide. A pour un milieu infiniment profond, B pour une eau peu profonde.

La solution de l'équation de Laplace est ici une exponentielle décroissante[3]

l'équation en z = 0 donne la relation de dispersion

La vitesse de phase    est le double de la vitesse de groupe   : le milieu est dispersif.

En intégrant une première fois ψ on obtient les composantes verticale et horizontale de la vitesse. Une nouvelle intégration donne alors les composantes de la particule fluide qui vérifient

a et b < 0 sont des constantes d'intégration arbitraires.

Cette équation décrit un cercle centré en (a,b) dont le rayon Aekb diminue exponentiellement avec la profondeur b (voir figure).

Fond plat

Pour un fond situé à l'altitude z = -h la solution de l'équation de Laplace est[3]

et la relation de dispersion

Dans la limite d'une eau peu profonde devant la longueur d'onde on a

d'où

qui décrit une propagation avec la vitesse  : le milieu est non dispersif.

Dans ce cas les trajectoires des particules fluides sont des ellipses (voir figure) dont le rapport des deux demi-axes est  : avec la profondeur le mouvement devient rapidement un mouvement de va-et-vient à altitude quasi constante.

On notera que ce système correspond à un milieu dans lequel l'équilibre hydrostatique est vérifié, au moins au premier ordre. Il est décrit par les équations de Barré de Saint-Venant.

Dérive de Stokes

Dérive de Stokes (houle en milieu profond).
Dérive de Stokes (ondes cnoïdales en faible profondeur).

On a linéarisé la condition limite en surface en la ramenant à z = 0. En réalité, il existe une vitesse de dérive de Stokes qui est une faible vitesse moyenne des particules fluides parallèlement à la surface (voir figures). Sa valeur peut être estimé à partir de considérations très générales[4]

T est la période de rotation de la particule fluide.

Dans le cas du milieu infiniment profond

La dérive varie comme le carré de l'amplitude et l'inverse de la longueur d'onde. Elle diminue rapidement avec la profondeur.

Propagation

Dans le cas général l'onde est décrite par

F représente la condition initiale. L'intégration est complexe car ω dépend de k et la fonction à intégrer est infiniment oscillante[5].

Onde d'Airy.

On peut cependant trouver des solutions à partir d'une approximation de ω obtenue en développant la tangente hyperbolique. Pour k petit

Alors, en utilisant la méthode de la phase stationnaire[3] pour

La solution est une fonction d'Airy définie par

et donc en prenant il vient

L'onde est formée par un front se propageant avec la vitesse de groupe, suivi d'ondes dont l'amplitude décroît comme

Références

  1. J. Boussinesq, « Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond », Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 17, , p. 55-108 (lire en ligne)
  2. (en) Lev Davidovitch Landau et Evgueni Mikhaïlovitch Lifshitz, Volume 6 of Course of Theoretical Physics : Fluid Mechanics, Pergamon Press, 1987 http://users-phys.au.dk/srf/hydro/landau+lifschitz.pdf
  3. Michel Talon, « Ondes de surface », sur LPTHE Université Paris VI,
  4. G. Roullet, « Ondes dans les fluides géophysiques », sur Université de Brest,
  5. (en) G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, , 636 p. (ISBN 978-0-471-35942-5, lire en ligne)
  6. « Transformation de Fourier », sur INSA Toulouse

Voir aussi

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