Équilibre hydrostatique

On se place dans un référentiel d'étude supposé galiléen et en coordonnées cartésiennes de sorte que l'axe vertical ascendant soit porté et orienté par le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {e}}_{z}}$.

Considérons un système infiniment petit (assimilable à un pavé droit) de volume élémentaire dV = dx dy dz. La masse de ce système est alors :

dm = ρ dV = ρ dx dy dz.

Les forces qui s'exercent sur le système sont le poids et les forces de pressions. Par symétrie, les forces de pression latérales se compensent. Les seules forces qui restent sont donc :

• le poids : ${\textstyle {\vec {P}}=\mathrm {d} m\,{\vec {g}}=-\mathrm {d} m\,g\;{\vec {e}}_{z}=-\rho \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,g\;{\vec {e}}_{z}}$ ;
• la force de pression exercée par le fluide sur la face supérieure du système : ${\textstyle {\vec {F}}_{\rm {haut}}=-p_{\rm {haut}}\,\mathrm {d} S\;{\vec {e}}_{z}=-p_{\rm {haut}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\;{\vec {e}}_{z}}$;
• la force de pression exercée par le fluide sur la face inférieure du système : ${\textstyle {\vec {F}}_{\rm {bas}}=p_{\rm {bas}}\,\mathrm {d} S\;{\vec {e}}_{z}=p_{\rm {bas}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\;{\vec {e}}_{z}}$.

En projetant les forces sur l'axe vertical on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}P=-\rho \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,g\\F_{\rm {haut}}=-p_{\rm {haut}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\F_{bas}=p_{\rm {bas}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{cases}}}$

où p_haut et p_bas sont respectivement les valeurs de la pression au-dessus et au-dessous du système.

La condition d'équilibre du système s'écrit, d'après le principe fondamental de la statique :

${\displaystyle P+F_{\rm {haut}}+F_{\rm {bas}}=0}$

En remplaçant les forces par leur expression, on a :

${\displaystyle -\rho \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,g-p_{\rm {haut}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+p_{\rm {bas}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=0\quad \Longrightarrow \quad \rho \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,g+p_{\rm {haut}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y-p_{\rm {bas}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=0}$

En divisant de part et d'autre de l'égalité par dV = dx dy dz  :

${\displaystyle \rho \,g+{\frac {p_{\rm {haut}}}{\mathrm {d} z}}-{\frac {p_{\rm {bas}}}{\mathrm {d} z}}=0}$.

Qui peut se réécrire :

${\displaystyle {\frac {p_{\rm {haut}}-p_{\rm {bas}}}{\mathrm {d} z}}=-\rho \,g\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} z}}=-\rho \,g}$.

Remarque : cette relation n'est plus valable dans le cas de mouvements rapides de convection du fluide, comme par exemple dans les orages, mais se vérifie assez bien dans les mouvements plus lents et à grande échelle : l'échelle synoptique.

En bonne approximation, l'atmosphère terrestre peut être considérée en équilibre hydrostatique au-dessus de la Terre. Il est donc possible d'utiliser la formule précédente pour calculer la pression en un point quelconque de l'atmosphère, situé à une altitude z.

• Système : « colonne » d'air en équilibre, de hauteur z ;
• Hypothèses :
  • on assimile l'air à un gaz parfait,
  • on suppose que la température de l'atmosphère varie linéairement avec l'altitude selon la relation T(z) = T₀ - a z, où T₀ est la température à la surface de la Terre et a est un coefficient positif,
  • on considère que l'intensité g du champ de pesanteur terrestre reste constant quelle que soit l'altitude.

On choisit l'axe vertical ascendant. L'équilibre hydrostatique est alors donné par : ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} p(z)}{\mathrm {d} z}}=-\rho (z)\,g}$.

En appliquant la loi des gaz parfaits, il vient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p(z)}{\mathrm {d} z}}=-\,{\frac {p(z)\,M_{\rm {air}}}{R\,(T_{0}-a\,z)}}\;g}$

où :

• M_air est la masse molaire de l'air ;
• R est la constante des gaz parfaits.

En utilisant la méthode de séparation des variables, on résout l'équation différentielle :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-\,{\frac {M_{\rm {air}}\,g}{R}}\cdot {\frac {\mathrm {d} z}{T_{0}-a\,z}}}$.

On intègre de la surface de la Terre (z = 0) à une altitude quelconque z :

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-\,{\frac {M_{\rm {air}}\,g}{R}}\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} z}{T_{0}-a\,z}}\qquad \Longrightarrow \qquad \ln {\left({\frac {p(z)}{p_{0}}}\right)}=\,{\frac {M_{\rm {air}}\,g}{R\,a}}\,\ln {\left({\frac {T_{0}-a\,z}{T_{0}}}\right)}}$.

où :

• p₀ est la pression atmosphérique à la surface de la Terre (à l'altitude z = 0).

En passant à l'exponentielle, on obtient l'expression recherchée :

$${\displaystyle p(z)=p_{0}\,\left(1-{\frac {a}{T_{0}}}\,z\right)^{\frac {M_{\rm {air}}\,g}{R\,a}}}$$

où :

• p(z) est la pression à l'altitude z (en Pa) ;
• p₀ = 1,01 × 10⁵ est la pression atmosphérique au niveau de la mer (en Pa) ;
• a un coefficient positif donnant la variation de température avec l'altitude (en K m⁻¹). On considère généralement qu'il vaut 6,5 °C par km[1], soit 0,006 5 K m⁻¹ ;
• T₀ = 288 est la température à la surface de la Terre (en K). On prend souvent (en aéronautique notamment) une température de référence au niveau de la mer égale à 15 °C, soit 288 K ;
• M_air = 29,0 × 10⁻³ est la masse molaire de l'air (en kg mol⁻¹) ;
• g = 9,81 est l'accélération de la pesanteur (en m s⁻²) ;
• R = 8,31 est la constante des gaz parfaits (en J mol⁻¹ K⁻¹).

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