Pression

La pression est définie classiquement par son effet sur une surface élémentaire ${\displaystyle \mathrm {d} S}$. La force exercée est normale à la surface :

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {F}}=p\,\mathrm {d} S\,{\vec {n}}=p\,\mathrm {d} {\vec {S}}}$

où ${\displaystyle {\vec {n}}}$ est le vecteur unitaire normal à la surface, dirigé vers l'extérieur. Cette expression définit le scalaire p, la pression.

Pour un milieu d'aire finie :

${\displaystyle \mathrm {Pression} ={\frac {\mathrm {Force} }{\mathrm {Surface} }}}$

Cette définition élémentaire, commode au plan didactique, est insuffisante car la pression existe en l'absence de toute paroi.

Considérons tout d'abord le cas d'un milieu unidimensionnel où

Cette définition est une définition physique^[Quoi ?] de la pression. Elle correspond en une dimension d'espace à la pression dynamique dans le cas d'une description macroscopique du problème d'un écoulement et se généralise aisément à un milieu tridimensionnel à symétrie sphérique lorsque la distribution des vitesses est isotrope. C'est le cas pour la description microscopique d'un gaz en équilibre thermodynamique (voir ci-dessous). En effet dans ce cas le flux est identique dans toutes les directions.

Plus généralement ces échanges de quantité de mouvement ne sont ni isotropes ni totalement directifs et dans ce cas on utilise le tenseur des contraintes ${\displaystyle {\mathsf {P}}\equiv \sigma _{ij}}$ (ou tenseur de pression) pour les décrire. En l'absence de couple interne au système ce tenseur est symétrique. Ceci est vérifié pour un fluide newtonien (mais pas seulement)[18]. Pour un fluide au repos ce tenseur est isotrope

${\displaystyle {\mathsf {P}}=-p\,{\mathsf {I}}}$

où  ${\displaystyle {\mathsf {I}}}$  est le tenseur unité et p la pression hydrostatique. On définit le tenseur de contraintes visqueuses comme le déviateur

${\displaystyle {\mathsf {\mathrm {T} }}\equiv \tau _{ij}={\mathsf {P}}+p\,{\mathsf {I}}\equiv \sigma _{ij}+p\delta _{ij}}$

où δ_ij est le symbole de Kronecker.

Pour un fluide newtonien et avec l'hypothèse de Stokes σ_ij est un tenseur à diagonale nulle. Cette propriété est utilisée pour l'écriture standard des équations de Navier-Stokes.

On définit la pression comme l'effet sur une paroi des impacts de particules (atome , molécules), effet résultant du transfert de quantité de mouvement.

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}n\,m\,\langle v^{2}\rangle }$

où n est la densité volumique des particules, m leur masse et v leur vitesse microscopique. < v² > est la moyenne statistique du carré du module de la vitesse.

Pour un gaz à l'équilibre thermodynamique local la moyenne statistique se réduit à la moyenne temporelle au point considéré et la vitesse obéit à la distribution statistique de Maxwell. On peut écrire

${\displaystyle p=n\,k\,T}$

où T est la température thermodynamique et k la constante de Boltzmann.

Dans cette approche la paroi est supposée parfaitement réfléchissante, ce qui ne correspond pas à la réalité. En fait la condition de réflexion parfaite définit une condition de symétrie, donc la négation même d'une paroi : ce type de condition aux limites est utilisé en physique pour éviter tout problème lié à l'écriture d'une condition physiquement réaliste[alpha 2].

La distribution maxwellienne des vitesses dans un gaz à l'équilibre thermodynamique résulte des interactions particule-particule dans le milieu libre. Les interactions paroi-particule sont de nature très différente et la distribution des vitesses est profondément altérée par la présence de la paroi sur une hauteur de quelques libres parcours moyens l. On peut définir une échelle macroscopique pour toute variable scalaire a par

${\displaystyle l_{a}={\frac {a}{||\nabla a||}}}$

Si l est grand devant l_a on est en régime moléculaire décrit par l'équation de Boltzmann. Le calcul de l'effort sur la paroi se fera à partir de celui des interactions individuelles[19].

Dans le cas l << l_a la paroi influence la distribution des vitesses dans une région épaisse de quelques libres parcours moyens appelée couche de Knudsen. On peut montrer[20] que la contrainte normale sur la paroi p_xx est la pression p hors de la couche de Knudsen à un facteur correctif près qui est en ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {l}})}$. Ce terme tend donc vers 0 lorsque la masse volumique du gaz augmente. Pour un gaz monoatomique il est strictement nul en l'absence d'écoulement et de transfert thermique[21]. De la même façon il existe des termes de cisaillement p_yy et p_zz (tension superficielle) en ${\displaystyle {\mathcal {O}}(l)}$.

Si l'effet sur la pression est toujours négligeable, celui sur la vitesse et la température doivent être pris en compte dans certaines situations, par exemple l'écoulement en milieu poreux décrit par l'équation de Darcy-Klinkenberg.

La tension interfaciale entre un liquide et un gaz ou entre deux liquides est liée aux phénomènes d'interaction entre molécules. Cet effet est analogue à celui dans un milieu gazeux proche d'une paroi solide décrit ci-dessus. Toutefois les interactions moléculaires dans un liquide sont beaucoup plus complexes que dans un gaz et il n'existe pas de surface en tant que discontinuité comme pour un solide. L'analyse analytique du phénomène est beaucoup plus difficile[22]. On est réduit à l'expérience ou à un calcul de dynamique moléculaire[23], donc une expérience numérique. Toutefois l'approche qualitative utilisant le tenseur de pression permet d'illustrer le phénomène[24].

Le tenseur de pression est diagonal du fait des symétries du problème. L'équilibre en x (axe normal à la surface) implique que p_xx (x) = C^ste = p.

Les termes transverses p_yy et p_zz sont égaux par symétrie et varient avec x. On note p_t (x) leur valeur. Ces termes induisent une contrainte correspondant à l'écart à p

${\displaystyle \gamma _{yy}=\gamma _{zz}=\int (p-p_{t})\mathrm {d} x=\gamma }$

l'intégration se faisant sur un domaine incluant la région d'épaisseur nanométrique de la couche incriminée. γ est la tension superficielle qui est une propriété du liquide seulement.

Généralement la modélisation du phénomène s'appuie sur une approche mécanique ou thermodynamique[24]^,[25] qui ne dit rien des mécanismes sous-jacents.

La thermodynamique du gaz de photons (des bosons obéissant à la statistique de Bose-Einstein) permet de définir une pression radiative qui a les mêmes attributs que la pression des atomes et molécules. Elle existe dans le milieu vide ou contenant un matériau non opaque et est utilisée en transfert radiatif. Dans les gaz à très haute température elle est du même ordre de grandeur ou même supérieure à la pression gazeuse.

Cependant, par rapport aux gaz, le problème est simplifié par l'absence d'interaction photon-photon. Pour calculer le phénomène on peut donc superposer le rayonnement incident et le rayonnement émis de la paroi. Il n'existe pas l'équivalent de la couche de Knudsen. La force résultante sur la paroi peut avoir une direction quelconque. Dans le cas d'un faisceau parallèle impactant une surface absorbante, la force résultante a la direction du faisceau.

Dans les étoiles denses comme les naines blanches ou les étoiles à neutrons la densité est telle que la matière est dans un état dégénéré. La composante de la pression liée au mouvement des particules est négligeable devant la part quantique liée à l'impossibilité pour les électrons ou les neutrons de se rapprocher au-delà d'une certaine distance sous peine de violer le principe d'exclusion de Pauli. La thermodynamique permet d'attribuer une pression isotrope à ce milieu, appelée pression de dégénérescence. Elle varie comme la puissance 5/3 de la masse volumique et est indépendante de la température. Le domaine est limité par la température de Fermi définie par

${\displaystyle T_{F}={\frac {\mu }{k}}}$

où μ est le potentiel chimique.

Dans le cas de dégénérescence électronique la température de Fermi des corps est de l'ordre de quelques dizaines de milliers de kelvins.

En thermodynamique, la pression est définie à partir de l'énergie interne ${\displaystyle U(V,S,N)}$ par

${\displaystyle p=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,N}}$

où V désigne le volume occupé, S l'entropie et N le nombre de particules dans le volume V.

En général la pression est strictement positive car il faut fournir de l'énergie (ΔU > 0) pour diminuer le volume (ΔV < 0).

Cette définition est cohérente avec celle de la pression pour un milieu à l'équilibre thermodynamique en cinétique des gaz.

On appelle pression réduite la grandeur sans dimension obtenue en divisant la pression par une pression de référence, souvent la pression critique ${\displaystyle p_{\mathrm {c} }}$ :

${\displaystyle \ p_{\text{r}}={\frac {p}{p_{\text{c}}}}}$.

Coefficient de pression sur une paroi sinusoïdale en écoulement turbulent : calcul et expérience.

Il existe de nombreux problèmes dans lesquels la couche limite est modifiée par l'état de paroi : rugosité à l'échelle millimétrique en aérodynamique, à l'échelle centimétrique en hydraulique ou à l'échelle métrique pour les vents dans l'atmosphère. Pour ne pas avoir à détailler chaque détail de la surface on définit une surface plane équivalente et on transfère les effets de la rugosité sur une condition aux limites ad hoc[26]. Lorsqu'on regarde ce qui se passe au niveau élémentaire on voit qu'il se produit une surpression dans la région au vent de la rugosité et une dépression dans la région sous le vent (voir figure). La force résultant de cette pression a donc une composante parallèle à la paroi équivalente. Celle-ci est petite devant la composante normale mais pas toujours totalement négligeable. Elle est généralement incluse dans le frottement et peut ainsi constituer une partie prépondérante de la valeur apparente de celui-ci.

Le problème des écoulements sur paroi rugueuse est un problème non totalement résolu de la mécanique des fluides, à l'exception du cas de l'écoulement de Stokes pour lequel une homogénéisation est possible[27].

Cet exemple met en évidence le fait que la décomposition habituelle du tenseur des contraintes en un terme diagonal (la pression) et un déviateur (le cisaillement) n'est pas toujours très pertinente, même dans le cas d'un fluide newtonien.

Pour la simplicité on s'intéresse tout d'abord à un milieu uniforme où une onde plane se propage dans la direction x. La perturbation, supposée faible, ne perturbe que faiblement la distribution des atomes ou molécules à l'échelle microscopique, sur une distance de quelques libres parcours moyens. Deux cas sont possibles :

• dans un fluide, décrit par un tenseur de pression isotrope, la symétrie par rapport à tout plan perpendiculaire à x fait que la perturbation des vitesses des particules ne change pas cette distribution : il ne peut se créer une onde transversale. L'onde de pression est donc nécessairement longitudinale ;
• dans un solide ou certains fluides non-newtoniens, comportant des termes de couplage entre directions, une déformation longitudinale entraîne une contrainte transversale et donc crée une onde transversale.

Dans le cas du gaz on sait calculer la vitesse de propagation dans le cas où la perturbation est suffisamment faible pour supposer la transformation adiabatique. On peut alors écrire une équation de propagation à partir des équations d'Euler[28], d'où l'on tire la vitesse du son.

Cette onde est faiblement amortie. En effet la viscosité dynamique ne concerne que les termes de cisaillement, ici absents. Par contre la viscosité volumique, correspondant aux phénomènes de compression et détente et liés aux échanges microscopiques entre énergie interne et énergie cinétique, joue un rôle d'amortissement de l'onde[28]. La valeur de cette quantité est faible, son effet négligeable pour les calculs de mécanique des fluides. Elle influence cependant la propagation du son sur de longues distances.

Dans un écoulement on parle d'onde simple pour décrire une onde provoquant des variations de pression locale comme les ondes de détente ou de compression isentropique. Leur analyse constitue la base de la compréhension des solutions des équations d'Euler au travers de l'analyse des caractéristiques[29].

L'unité standard définie dans le Système international est le pascal (symbole Pa). Une pression d'un pascal correspond à une force d'un newton exercée sur une surface d'un mètre carré : 1 Pa = 1 N/m² = 1 kg m⁻¹ s⁻²[30].

On utilise encore diverses unités, souvent d'origine historique, comme la barye (ba) du système CGS, le millimètre de mercure (mmHg) ou torr (Torr), l'atmosphère (atm) et le bar (bar). Toutes ces unités sont encore d'usage courant dans divers domaines. On trouve encore dans le monde anglo-saxon des unités spécifiques comme la livre-force par pouce carré (psi, pound per square inch).

La pression peut être négative. Le cas se présente notamment dans les fluides dont la cohésion est maintenue par les forces intermoléculaires (forces de van der Waals) en dehors de leurs conditions ordinaires de stabilité. Un liquide placé dans une centrifugeuse subit une force qui peut être interprétée comme la résultante d'une pression négative[31]. Des pressions négatives sont également observées dans de l'eau refroidie dans un volume constant, qui peut rester liquide à une température de −15 °C en produisant une pression de −1 200 bar (−1,2 × 10⁸ Pa)[32]. Dans les arbres la pression atmosphérique ne peut faire monter l'eau par capillarité qu'à un maximum de 10 m, or on trouve de l'eau liquide au sommet d'arbres de plus de 90 m de haut tel le Séquoia géant, dont le système circulatoire de la sève est pourtant dépourvu d'une pompe équivalente au cœur de la circulation sanguine. Ceci s'explique par des pressions négatives créées par l'évaporation de l'eau dans les feuilles, de l'ordre de −4,8 atm (−4,9 × 10⁵ Pa) dans des arbres de 60 m[33]^,[34]

La pression théorique du vide absolu est nulle. La pression du vide interstellaire est d'environ 1 fPa, soit 10⁻¹⁵ Pa.

La pression maximale théorique est la pression de Planck (≈ 4,63 × 10¹¹³ Pa). Les pressions les plus élevées déduites d'observations se situent au cœur des étoiles, la pression dans le soleil est par exemple d'environ 35 PPa, soit 3,5 × 10¹⁶ Pa.

Au laboratoire, les pressions statiques les plus élevées sont obtenues dans des cellules à enclumes de diamant : jusqu'à 0,425 TPa (4,25 Mbar, soit 4,25 millions de fois la pression atmosphérique)[35]. En 2020 des pressions supérieures à 10 TPa (jusqu'à 45 TPa, soit 450 Mbar) ont été obtenues pour la première fois, mais pendant quelques nanosecondes seulement, en faisant converger des ondes de choc sphériques sur un échantillon d'un millimètre de rayon[36]^,[37].

On peut faire varier expérimentalement la pression statique sur plus de vingt ordres de grandeur : depuis 10⁻¹⁰ Pa pour les vides poussés jusqu'à 5 × 10¹¹ Pa pour les plus hautes pressions produites en cellule à enclumes de diamant, utilisées par exemple pour déterminer l'équation d'état de métaux ou roches au centre des planètes[38]. Selon la gamme de pression visée, les appareils de mesure utilisent des principes physiques très différents. Les méthodes de mesure peuvent être classées en méthodes directes et indirectes. Les premières reposent sur la mesure directe d'une force, exercée sur une membrane par exemple, et sont proches de la définition première de la pression. Les méthodes indirectes reposent sur la mesure d'une autre grandeur physique (résistivité, température…) qu'on peut relier à la pression par un étalonnage.

Ces sondes de pression peuvent porter des noms très divers suivant leur utilisation et donc leur mode de fonctionnement. On peut citer comme appareils traditionnels :

• le baromètre et l'altimètre sous diverses déclinaisons (jauge de Penning, jauge de Pirani) ou l'hypsomètre pour la pression atmosphérique ;
• le vacuomètre ou la jauge de Mac Leod[39] pour la pression dans un tube à vide.

Certaines technologies ont été développées spécifiquement pour un domaine, par exemple les peintures sensibles à la pression (PSP) pour les expériences en soufflerie[40].

La mesure de pression peut être absolue (valeur physique) ou relative à une valeur de référence, généralement la pression normale (1 bar). Dans ce dernier cas on parle toujours de pression alors qu'il s'agit d'une différence de pression, qui peut donc être négative.

Il existe également des moyens permettant d'obtenir de très hautes pressions dynamiques (lasers de puissance, hautes puissances pulsées). Les hautes températures qui accompagnent ces expériences conduisent à l'utilisation de diagnostics optiques[41].

La notion de pression étant d'un usage extrêmement général on se limitera à quelques exemples utilisables dans un objectif de vulgarisation. On trouve assez facilement des sites illustrant les bases de chacun de ces aspects[42]^,[43].

Une punaise est un transformateur de pression : une petite pression sur une large surface, côté doigt, est transformée à force constante en une grande pression sur une petite surface, la pointe, côté mur.

Une application très courante consiste à faire varier la surface d'application dans le but de multiplier l'effort exercé localement. Cela peut être réalisé par l'intermédiaire d'un solide, par l'exemple d'un objet pointu comme un clou ou un poinçon. On peut également utiliser un liquide comme pour la presse hydraulique. L'effet contraire de démultiplication est illustré par l'usage d'un support de surface notable pour exercer un effort sur un sol déformable.

La notion d'intensité de la force due à la pression atmosphérique est illustrée par l'expérience historique des hémisphères de Magdebourg.

Le lien avec la gravité permet d'expliquer un phénomène comme la poussée d'Archimède comme pour le thermomètre de Galilée[44] ou le fonctionnement du baromètre tel celui de Huygens[45].

La notion de pression de rayonnement permet d'expliquer le fonctionnement d'une voile solaire ou d'un radiomètre.

Un élément caractérisant la pression en mécanique des fluides est le fait qu'elle est à l'origine d'écoulements. Un calcul simple permet de le montrer : prenons un élément de volume de fluide incompressible dV = dS dl, d'épaisseur dl, nommé « particule fluide ». En présence d'une différence de pression dp il est soumis à une force :

${\displaystyle \mathrm {d} f=-\mathrm {d} p\,\mathrm {d} S=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} l}}\,\mathrm {d} l\,\mathrm {d} S=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} l}}\,\mathrm {d} V}$

On exprimera ceci plus généralement en disant que la force exercée par unité de volume est proportionnelle au gradient de pression :

${\displaystyle \mathbf {f} =-\nabla p}$

En lui appliquant l'équation fondamentale de la dynamique on trouve l'équation de conservation de quantité de mouvement pour un fluide non visqueux écrite en repère lagrangien [alpha 3]

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {V} }{\mathrm {d} t}}=-\nabla p}$

Si la pression peut être mesurée par l'intermédiaire d'un phénomène qui en dépend, certaines quantités sont mesurées par leur dépendance à la pression.

La pression est responsable de la force qui propulse le jet. Elle augmente avec la profondeur.

L'altitude ${\displaystyle z}$ (au sens mathématique) sur terre peut être mesurée par l'intermédiaire de sa relation avec la pression au travers de la loi d'équilibre hydrostatique :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} z}}=-\rho g}$

où ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique et ${\displaystyle g}$ l'accélération de la pesanteur supposée constante dans l'intervalle d'altitude considéré. On calcule le profil ${\displaystyle p\!\left(z\right)}$ d'où on déduit ${\displaystyle z\!\left(p\right)}$.

Diverses applications illustrent cette relation :

• dans l'eau (plongée sous-marine) ${\displaystyle \rho }$ est constante :

${\displaystyle \int _{p_{0}}^{p}\mathrm {d} p=-\rho g\int _{0}^{z}\mathrm {d} z}$

${\displaystyle p\!\left(z\right)=p_{0}-\rho gz}$

${\displaystyle z\!\left(p\right)=-{p-p_{0} \over \rho g}}$ avec ${\displaystyle z<0}$

Compte tenu de la forte variation de ${\displaystyle p}$ avec ${\displaystyle z}$, la valeur de ${\displaystyle p_{0}}$ n'a pas besoin d'être connue avec précision : on prendra ${\displaystyle p_{0}}$ = 1 bar.

• en altitude (altimétrie) et en supposant un gaz parfait de masse molaire ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle \rho ={pM \over RT}}$

${\displaystyle \int _{p_{0}}^{p}{\mathrm {d} p \over p}=\ln \!\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)=-{\frac {gM}{R}}\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} z}{T\!\left(z\right)}}}$

où ${\displaystyle R}$ est la constante universelle des gaz parfaits. La température ${\displaystyle T}$ varie également avec l'altitude : cette intégrale est résolue en se donnant un profil standard de température avec l'altitude (atmosphère normalisée). La précision est améliorée si l'on recale le calcul avec une donnée d'une station ${\displaystyle p\!\left(0\right)}$ fournie par une station au sol[46]. En supposant une atmosphère isotherme :

${\displaystyle p\!\left(z\right)=p_{0}\,\exp \left(-{\frac {gM}{RT}}z\right)}$

${\displaystyle z\!\left(p\right)=-{\frac {RT}{gM}}\,\ln \!\left({p \over p_{0}}\right)}$

• mesure de niveau :

Une application industrielle courante est la mesure de niveau dans un réservoir contenant une phase liquide et un ciel gazeux. Deux capteurs de pression sont placés l'un dans le ciel du réservoir, l'autre au pied du réservoir. La différence de pression entre les deux mesures est reliée à la hauteur de liquide par le principe de Pascal :

${\displaystyle \Delta p=\rho _{L}\,g\,h_{L}+\rho _{G}\,g\,h_{G}}$

avec :

• ${\displaystyle \Delta p}$ la différence de pression mesurée entre les deux capteurs (positive : pression de pied - pression du ciel) ;
• ${\displaystyle \rho _{L}}$ et ${\displaystyle \rho _{G}}$ les masses volumiques respectives du liquide et du gaz ;
• ${\displaystyle h_{L}}$ la hauteur de liquide entre le capteur de pied et l'interface liquide-gaz ;
• ${\displaystyle h_{G}}$ la hauteur de gaz entre l'interface liquide-gaz et le capteur du ciel.

L'écart de hauteur ${\displaystyle h}$ entre les deux capteurs étant connu, avec ${\displaystyle h=h_{L}+h_{G}}$, on a :

${\displaystyle h_{L}={\Delta p-\rho _{G}\,g\,h \over \left(\rho _{L}-\rho _{G}\right)g}}$

Si l'on peut négliger la contribution du gaz à la différence de pression :

${\displaystyle h_{L}\approx {\Delta p \over \rho _{L}\,g}}$

L'échelle absolue de température thermodynamique est basée sur l'équation d'état du gaz parfait et la mesure de pression ou de volume. Le thermomètre à hydrogène constitue un étalon secondaire de mesure[47].

On peut estimer le débit d'un fluide en utilisant un système entraînant une perte de charge calibrée (par ex. une plaque à orifice ou diaphragme). La différence de pression entre l'entrée et la sortie du système déprimogène est reliée à la vitesse du fluide par :

${\displaystyle \Delta p={1 \over 2}K\rho {\dot {v}}^{2}}$

avec :

• ${\displaystyle \Delta p}$ la perte de charge aux bornes du capteur de débit ;
• ${\displaystyle K}$ le coefficient de perte de charge du capteur de débit ;
• ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique du fluide passant dans le capteur de débit, en supposant le fluide incompressible ;
• ${\displaystyle {\dot {v}}}$ la vitesse du fluide à l'entrée du capteur de débit.

On calcule ainsi la vitesse :

${\displaystyle {\dot {v}}={\sqrt {{2 \over K\rho }\Delta p}}}$

Dans un tube de Pitot, qui permet notamment de mesurer la vitesse des avions, l'un des capteurs mesure la pression totale (somme de la pression statique et de la pression dynamique) dans la veine du fluide et l'autre la pression statique seule. Le coefficient de perte de charge ${\displaystyle K=1}$.

Avec ${\displaystyle S}$ la surface de la section d'entrée du capteur, le débit massique ${\displaystyle {\dot {m}}}$ vaut :

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho S{\dot {v}}=S\,{\sqrt {{2\rho \over K}\Delta p}}}$

• La Pression : Un outil pour les sciences, Paris, CNRS éditions, coll. « Sciences et techniques de l'ingénieur », 2003, 305 p. (ISBN 2-271-06106-7)

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