Volume

• Le volume physique se mesure en mètre cube dans le Système international d'unités. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides et pour des matières sèches. Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique associée est la pression.
• En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, le volume du parallélépipède engendré par 3 vecteurs non coplanaires ${\displaystyle ({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})}$ se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs :

${\displaystyle V=|\det({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})|}$.

Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques.

Le volume est une grandeur additive : le volume d'un système physique est la somme des volumes de ses parties. Ce n'est en revanche pas une grandeur algébrique : physiquement, il n'existe pas de « volume négatif » (dont serait fait le sac de voyage de Mary Poppins) dont la superposition avec un système physique de volume positif donnerait un système composé de volume globalement nul, ou du moins réduit : tous les volumes sont de même signe, et par convention, sont comptés positivement. C'est pour cette raison que dans la formule du produit mixte, le résultat est pris en valeur absolue.

L'interprétation physique du produit mixte est qu'un volume physique est le produit scalaire d'une surface par un déplacement :

${\displaystyle V=\det({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})={\vec {v}}_{1}\cdot ({\vec {v}}_{2}\wedge {\vec {v}}_{3})={\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {S}}_{23}}$.

Le déplacement est un vecteur, mais la surface orientée est un pseudovecteur, si bien que le volume ainsi défini est théoriquement une grandeur qui change de signe lorsqu'on fait subir au système une isométrie indirecte (symétrie miroir par exemple). De fait, si par exemple le volume d'une sphère est ⁴⁄₃π R³, une inversion polaire changera effectivement R en –R et conduira logiquement à un volume négatif. Sur le plan de l'équation aux dimensions, et en tenant compte de la grandeur d'orientation, le déplacement est un vecteur de dimension L·1_x et la surface un pseudovecteur de dimension L²·1_y, le produit des deux est un pseudoscalaire de dimension L³·1_z, c'est-à-dire qu'il a le même caractère qu'un flux.

La physique reste effectivement inchangée si tous les volumes sont comptés négativement, mais en pratique les volumes physiques sont comptés positivement, ce qui revient à multiplier le volume au sens précédent par le symbole de Levi-Civita (lui-même en 1_z). Le volume d'un corps physique est alors un scalaire vrai, à cause de la convention d'orientation. De même, alors qu'un élément de surface est normalement un pseudovecteur en 1_y, la convention d'orientation qui veut que son orientation sur une surface fermée soit dirigée vers l'extérieur revient à le multiplier par la convention d'orientation en 1_z, ce qui en fait alors un vecteur vrai en 1_x. L'utilisation de cette convention d'orientation peut être problématique dans l'analyse dimensionnelle, parce qu'elle correspond à une grandeur par ailleurs généralement invisible dans les données du problème.

Un domaine de dimension 3 peut généralement être décrit par trois paramètres indépendants u, v et w. Pour tout point M(u,v,w) appartenant à ce domaine, le vecteur position ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}$ (où O désigne une origine fixe quelconque) a pour différentielle :

${\displaystyle \mathrm {d\,{\overrightarrow {OM}}} =\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v+\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial w}}\right)\mathrm {d} w}$.

Une variation élémentaire du, dv, dw) des trois paramètres forme l'élément de volume (ou volume élémentaire) d³V (ou simplement dV si l'on n'a pas besoin de rappeler que trois variables varient indépendamment), défini par :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}V=\det \!\left[\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial u}}\right),\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial v}}\right),\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial w}}\right)\right]\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w}$.

Le module d'un vecteur position s'exprimant en mètres (m), un élément de volume s'exprime en mètres cubes (m³). Le signe de d³V est positif si les vecteurs ${\displaystyle (\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial u)}$, ${\displaystyle (\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial v)}$ et ${\displaystyle (\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial w)}$, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct, et négatif s'ils forment un trièdre inverse.

L'unité de volume du Système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).

Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression et la température, deux définitions de correction existent :

• le mètre cube dit normal exprimé en m³(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 0 °C ;
• le mètre cube dit standard exprimé en m³(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 15 °C.

Les volumes décrits ci-dessus correspondent à des volumes dits corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

En mathématiques, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X cubes unité correspond à 8 X cm³.

Dans la suite on notera :

• V le volume d'une figure ;
• a l'arête ;
• B et b les aires de la grande base et de la petite base ;
• H la hauteur (ou distance séparant les deux faces) ;
• D ou d le diamètre ;
• R ou r le rayon ;
• L ou l la longueur et la largeur d'un rectangle.

Les solides de Platon

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers convexes. Leurs volumes respectifs sont donnés par les formules suivantes :

Polyèdre	Volume	Figure
Tétraèdre régulier	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}\,a^{3}}$	Animation d'un tétraèdre
Cube	${\displaystyle a^{3}}$	Animation d'un cube
Octaèdre régulier	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}\,a^{3}}$	Animation d'un octaèdre
Dodécaèdre régulier	${\displaystyle {\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}\,a^{3}}$	Animation d'un dodécaèdre
Icosaèdre régulier	${\displaystyle {\frac {5\varphi ^{2}}{6}}\,a^{3}}$ où ${\displaystyle \varphi }$ est le nombre d'or	Animation d'un icosaèdre

Si ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ est une partie bornée de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, délimité par le plan z = 0 et la surface d'équation z = 'f(x,y) – avec f positive et continue sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ – est :

${\displaystyle V=\iint _{\mathcal {D}}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$.

Dans le cas où le domaine ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ est défini par des conditions simples x₁ < x < x₂, y₁(x) < y(x) < y₂(x), ce calcul se ramène à :

${\displaystyle V=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\int _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$.

Si ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est une partie bornée de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ et si la fonction constante 1 est intégrable sur ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, le volume de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est alors :

${\displaystyle V=\iiint _{\mathcal {A}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$

Dans le cas où le domaine ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est défini par des conditions simples x₁(z,y) < x (z,y)< x₂(z,y), y₁(z) < y(z) < y₂(z) et z₁ < z < z₂, ce calcul se ramène à :

${\displaystyle V=\int _{z_{1}}^{z_{2}}\!\int _{y_{1}(z)}^{y_{2}(z)}\!\int _{x_{1}(z,y)}^{x_{2}(z,y)}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$.

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$, le calcul peut s'exprimer par :

${\displaystyle V=\iiint _{{\mathcal {A}}'}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,dz}$ où ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ est une partie bornée de ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi ]\times \mathbb {R} }$

Si le domaine ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ s'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples ${\displaystyle {\mathcal {A}}''}$, le calcul peut s'exprimer par :

${\displaystyle V=\iiint _{{\mathcal {A}}''}r^{2}\sin(\phi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }$ où ${\displaystyle {\mathcal {A}}''}$ est une partie bornée de ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi ]\times [0,\pi ]}$.

Dans le cas où le domaine ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation y = 'f(x) autour de l'axe (Ox), le calcul du volume se réduit à une intégrale simple :

${\displaystyle V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f^{2}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Enfin, le théorème de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface :

${\displaystyle V=\iiint _{A}\mathrm {d} V={\frac {1}{3}}\iint _{\partial {\mathcal {A}}}(x,y,z){\vec {n}}\,\mathrm {d} S}$

où ${\displaystyle \partial {\mathcal {A}}}$ est la frontière de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, et ${\displaystyle {\vec {n}}}$ le vecteur unitaire normal à dS dirigé vers l'extérieur de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

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