Équilibre séculaire

Soit P (« père ») un noyau radioactif de constante radioactive λ_P et F (« fils ») le noyau résultant de sa désintégration, lui-même radioactif de constante λ_F (>> λ_P). On désignera par [P] et [F] le nombre de noyaux P et F présents dans un échantillon, ou bien leurs concentrations molaires (exprimées par exemple en mol/kg).

• Si le père est non radiogénique son taux de création est nul, et son taux de destruction est par ailleurs donné par la loi de décomposition radioactive :

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d[P]} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda _{\mathrm {P} }[P]}$.

• Le taux de création de F est λ_P [P] et son taux de destruction λ_F [F], d'où le bilan :

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d[F]} }{\mathrm {d} t}}=\lambda _{\mathrm {P} }[P]-\lambda _{\mathrm {F} }[F]}$.

• Dans le cas d'une chaîne de désintégration on a de même, pour un descendant intermédiaire D_n (fils de D_n−1 et père de D_n+1) :

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d[D} _{n}]}{\mathrm {d} t}}=\lambda _{n-1}[\mathrm {D} _{n-1}]-\lambda _{n}[\mathrm {D} _{n}]}$.

La quantité (ou la concentration) de F est constante (${\displaystyle {\mathrm {d[F]} }/{\mathrm {d} t}=0}$) si (2^e équation ci-dessus) :

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {P} }[P]=\lambda _{\mathrm {F} }[F]}$,

donc si les activités de P et F sont égales. Comme les constantes radioactives λ_P et λ_F sont inversement proportionnelles aux demi-vies correspondantes T_P et T_F, le résultat précédent peut être écrit sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {[F]} }{\mathrm {[P]} }}={\frac {T_{\mathrm {F} }}{T_{\mathrm {P} }}}}$.

Dans le cas d'une chaîne de désintégration on a de même, à l'équilibre (3e équation de la section précédente) :

${\displaystyle \lambda _{n-1}[\mathrm {D} _{n-1}]=\lambda _{n}[\mathrm {D} _{n}]}$  donc  ${\displaystyle {\frac {[\mathrm {D} _{n}]}{[\mathrm {D} _{n-1}]}}={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}}$

où D_n−1 et D_n sont deux descendants successifs, λ_n−1 et λ_n leurs constantes de désintégration, et T_n−1 et T_n leurs demi-vies.

Quand la période (T) du « père » est très nettement supérieure à celle des « fils », les activités des différents fils se mettent à l’équilibre avec celle du père. Autrement dit, le rapport entre la concentration d'un fils et celle du père devient égal au rapport de leurs demi-vies.

L'équilibre séculaire d'une chaîne de désintégration est atteint après un temps égal à environ 10 fois la période du fils dont la période est la plus longue : ex :

• ²³⁴U (T = 2,46 × 10⁵ ans) est le fils de plus longue période dans la chaîne de ²³⁸U (T = 4,47 × 10⁹ ans) ; l'équilibre séculaire est donc atteint après plus de deux millions d'années
• ²²⁸Ra (T = 5,75 ans) est à considérer pour la chaîne du ²³²Th (T = 1,40 × 10¹⁰ ans), l'équilibre séculaire est atteint après un demi-siècle environ.

En considérant que les activités de tous les descendants sont alors égales à l'activité de l'isotope tête de filiation, l’erreur commise est inférieure à 1 %.

L'établissement de l'équilibre séculaire explique pourquoi la radioactivité d'un échantillon peut augmenter avec le temps. Par exemple, un gramme d'uranium 238 pur présente une radioactivité de 12 434 Bq. Au bout d'un an se sont formées dans l'échantillon des quantités significatives de ²³⁴Th et ^234mPa (de périodes radioactives inférieures à un mois), qui ont atteint leur équilibre séculaire avec l'uranium et présentent donc la même activité, alors que la quantité totale d'uranium 238 n'a pas diminué significativement : la radioactivité totale de l'échantillon est alors de 3 × 12 434 = 37 302 Bq. Au bout de 2,5 millions d'années (environ dix fois la période de l'uranium 234), l'équilibre séculaire de la chaîne complète est atteint : l'activité de l'uranium 238 est alors égale à celle de chacun de ses treize descendants (on néglige le ²³⁴Pa, qui représente un mode de désintégration très minoritaire). L'activité totale de l'échantillon d'un gramme est alors de plus de 174 000 Bq, soit 14 fois l'activité initiale.

Source IRSN[2]

• Radioactivité
• Demi-vie
• Période radioactive

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