Zéro puissance zéro

De nombreuses formules impliquant des entiers naturels nécessitent de définir 0⁰ = 1. Par exemple, si l'on voit b⁰ comme un produit vide, il faut le définir comme étant 1, même lorsque b = 0. En combinatoire, b⁰ est le nombre de 0-uplets dans un ensemble à b éléments ; il y en a exactement un, même si b = 0. De manière équivalente, l'interprétation de 0⁰ dans la théorie des ensembles est le nombre de fonctions de l'ensemble vide dans l'ensemble vide ; il y a exactement une telle fonction, la fonction vide[1].

De façon similaire, il est souvent nécessaire de définir 0⁰ = 1 quand on travaille avec des polynômes.

Un polynôme est une expression de la forme ${\displaystyle a_{0}X^{0}+\cdots +a_{n}X^{n}}$ où ${\displaystyle X}$ est l'indéterminée et les coefficients ${\displaystyle a_{n}}$ sont des nombres réels (ou plus généralement des éléments d'un anneau). L'ensemble de ces polynômes est noté ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ et forme lui-même un anneau. Le polynôme ${\displaystyle X^{0}}$ est l'unité de cet anneau, en d'autres termes c'est l'unique élément vérifiant la propriété suivante : ${\displaystyle X^{0}}$ multiplié avec n'importe quel autre polynôme ${\displaystyle P(X)}$ donne simplement ${\displaystyle P(X)}$[2]. Les polynômes peuvent être « évalués » en remplaçant X par n'importe quel nombre réel. Plus précisément, étant donné un nombre réel ${\displaystyle x_{0}}$, il existe un unique morphisme d'anneaux ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{0}}:\mathbb {R} [X]\to \mathbb {R} }$ tel que ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{0}}(x^{1})=x_{0}}$[3], appelé morphisme d'évaluation. Étant un morphisme d'anneaux, il satisfait alors ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{0}}(x^{0})=1}$. En résumé, ${\displaystyle x^{0}=1}$ pour toutes les spécialisations de x en un nombre réel, y compris x = 0.

Cette perspective est importante pour de nombreuses identités polynomiales en combinatoire. Par exemple, la formule du binôme de Newton ${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}$ n'est valable pour x = 0 que si 0⁰ = 1[4]. De même, la définition des anneaux de séries entières demandent à ce que ${\displaystyle x^{0}=1}$ pour toute valeur de x. Ainsi, les identités comme ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}$ et ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ ne sont valables en x = 0 que si 0⁰ = 1.

Graphique de z = x^y. Les courbes en rouge (avec z constant) donnent des limites différentes à mesure que (x, y) se rapproche de (0, 0). Les courbes vertes (de pente constante, y = ax) donnent toutes une limite de 1.

Les limites faisant appel à des opérations algébriques peuvent souvent être évaluées en remplaçant des sous-expressions par des limites. Si l'expression qui en résulte ne permet pas de déterminer la limite initiale, l'expression est appelée une forme indéterminée[5].

Lorsque f(t) et g(t) sont des fonctions à valeurs réelles qui s'approchent toutes deux de 0 à mesure que t s'approche d'un nombre réel ou de ±∞ (avec f(t) > 0), alors la fonction f(t)^g(t) n'a pas forcément comme limite 1. Suivant l'expression exacte de f et g, la limite de f(t)^g(t) peut être n'importe quel nombre réel positif, ou +∞, ou diverger. Par exemple, les fonctions ci-dessous sont de la forme f(t)^g(t) avec f(t), g(t) → 0 quand t → 0⁺, mais les limites sont différentes :

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{-t}=+\infty ,\quad \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t}}}\right)^{at}=e^{-a}}$.

En d'autres termes, la fonction de deux variables ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{y}}$, qui est continue sur l'ensemble {(x, y) : x > 0}, ne peut être prolongée en une fonction continue en (0, 0)[6]. Toutefois, sous certaines conditions, par exemple lorsque f et g sont deux fonctions analytiques et f est positive sur un intervalle ouvert ]0, b[, la limite à droite est toujours 1[7]^,[8]^,[9].

Dans le plan complexe, la fonction z^w peut être définie pour les z non nuls en choisissant une branche de log z puis en prenant z^w = e^{w log z}. Cela ne permet pas de définir 0^w car il n'y a pas de branche de log z définie en z = 0, et encore moins dans un voisinage de 0[10]^,[11]^,[12].

Le débat sur la définition de ${\displaystyle 0^{0}}$ existe depuis au moins le XIX^e siècle. À l'époque, la plupart des mathématiciens étaient d'accord avec le fait que ${\displaystyle 0^{0}=1}$, jusqu'à 1821 quand Cauchy[13] lista ${\displaystyle 0^{0}}$ dans une table des formes indéterminées, au même rang que ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$. Dans les années 1830, Libri[14]^,[15] publia un argument, peu convaincant^{[réf. nécessaire]}, pour démontrer que ${\displaystyle 0^{0}=1}$. Möbius[16] prit son parti, affirmant que ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}\;=\;1}$ si ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)\;=\;\lim _{t\to 0^{+}}g(t)\;=\;0}$. Un commentateur, qui signa simplement « S », fournit le contre-exemple ${\displaystyle (e^{-1/t})^{t}}$, ce qui calma le débat pour quelque temps. Plus de détails historiques se trouvent dans les travaux de Donald Knuth (1992).

Aujourd'hui, les mathématiciens interprètent les arguments ci-dessus de deux manières :

• certains disent que la valeur de ${\displaystyle 0^{0}}$ dépend du contexte, et donc que définir l'expression pose problème[17] ;
• d'autres (et particulièrement Donald Knuth) pensent que ${\displaystyle 0^{0}}$ devrait toujours être défini comme étant égal à 1[18].

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