24-graphe de Klein

Le 24-graphe de Klein est, en théorie des graphes, un graphe 7-régulier possédant 24 sommets et 84 arêtes.

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24-graphe de Klein
Nombre de sommets 24
Nombre d'arêtes 84
Distribution des degrés 7-régulier
Rayon 3
Diamètre 3
Maille 3
Automorphismes 336
Nombre chromatique 4
Indice chromatique 7
Propriétés Régulier
Hamiltonien
Graphe de Cayley
Symétrique

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du 24-graphe de Klein, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 7-sommet-connexe et d'un graphe 7-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 7 sommets ou de 7 arêtes.

Il peut être plongé dans une surface orientable de genre 3, où il forme la « carte de Klein », avec 56 faces triangulaires, de symbole de Schläfli {3,7}8[1].

Coloration

Le nombre chromatique du 24-graphe de Klein est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 3-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du 24-graphe de Klein est 7. Il existe donc une 7-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le 24-graphe de Klein est symétrique, c'est-à-dire que son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses arêtes, ses sommets et ses arcs. Son groupe d'automorphisme est d'ordre 336.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du 24-graphe de Klein est : .

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

Références
  1. (en) Egon Schulte et J. M. Wills, « A Polyhedral Realization of Felix Klein's Map {3, 7}8 on a Riemann Surface of Genus 3 », J. London Math. Soc., vol. s2-32, no 3,‎ (lire en ligne)


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