Albert E. Ingham

Ingham est né le 3 avril 1900 Northampton. Il est élève à la Stafford Grammar School (en) puis à partir de 1919 et grâce à une bourse, étudiant au Trinity College, Cambridge[2] après quelques mois de service militaire pendant la première Guerre mondiale. Il s'est distingués dans les Tripos de Cambridge, et en 1921 a obtenu le Prix Smith[2]. En 1922 il est élu Fellow du Trinity College. La même année il est obtient une maîtrise sous la direction de John Edensor Littlewood[1]. Il se consacre ensuite à la recherche, avec des séjours aussi à l'université de Göttingen. En 1926 il devient reader à l'université de Leeds. À partir de 1930, il est à nouveau à Cambridge comme lecturer, et en 1953 il devient reader. En 1945 il est élu à la Royal Society[3].

Ingham supervise les thèses de Colin Brian Haselgrove, Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs, Christopher Hooley et Robert Alexander Rankin[1]. Ingham meurt accidentellement lors d'une excursion à Chamonix le 6 septembre 1967.

Ingham a travaillé en théorie analytique des nombres, et plus particulièrement sur la fonction zêta de Riemann et la distribution des nombres premiers. Son livre The distribution of primes, paru en 1932[4], et qui traite de ce sujet, était pendant longtemps un livre de référence. Il a aussi contribué à la théorie des séries et aux théorèmes tauberiens au sens de Norbert Wiener.

En 1919 Ingham a indiqué une méthode par laquelle on pourrait trouver un contre-exemple à la conjecture de Pólya qui dit que pour tout entier naturel ${\displaystyle N}$,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\lambda (n)\leq 0}$

où ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega }(n)}$, et où ${\displaystyle \Omega (n)}$ est le nombre de facteurs premiers de ${\displaystyle n}$ (comptés avec multiplicité). La conjecture est fausse comme montré par Colin Brian Haselgrove. De plus, R. Sherman Lehman a donné un contre-exemple en 1960; le plus petit contre-exemple est ${\displaystyle N=906150257}$, trouvé par Minoru Tanaka en 1980.

Ingham a démontré en 1937[5], en améliorant un résultat antérieur de Guido Hoheisel, que

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{5/8}}$,

où ${\displaystyle p_{n}}$ est le ${\displaystyle n}$-ième nombre premier et ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ est ${\displaystyle n}$-ième écart entre nombres premiers. Ce résultat se déduit de son inégalité

${\displaystyle \pi \left(x+x^{\theta }\right)-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log x}}}$

pour tout ${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c)}$, où ${\displaystyle \pi }$ est la fonction de compte des nombres premiers et ${\displaystyle c}$ est une constante positive pour laquelle la fonction zêta de Riemann ${\displaystyle \zeta }$ vérifie l'inégalité

${\displaystyle \zeta \left(1/2+it\right)=O\left(t^{c}\right)}$.

Ingham a un nombre d'Erdős égal à 1 parce qu'ils ont écrit un article commun, à savoir : Paul Erdős et Albert E. Ingham, « Arithmetical Tauberian theorems », Acta Arith., vol. 9,‎ 1964, p. 341-356.

• Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, coll. « Cambridge tracts in mathematics and mathematical physics » (n^o 30), 1932, 114 p. (ISBN 0-521-39789-8, ISSN 0068-6824) — Réédité et réimprimé avec une préface de R. C. Vaughan en 1990.

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