Algèbre nouvelle

Dans une première partie, Viète donne les définitions de son analyse spécieuse. Celle-ci se décompose dans un mouvement ternaire : Zététique, Poristique, Exégétique. Elle a pour but de fournir la Doctrine pour bien inventer en Mathématiques.

• La Zététique est la mise en équation du problème et la manipulation de cette équation pour la mettre sous une forme canonique qui donne lieu à une interprétation en termes de proportions.
• La Poristique est l'examen de la vérité des propositions au travers des théorèmes ordinaires.
• L'Exégétique est la détermination, Vasset dira l'exhibition, des solutions, numériques ou géométriques, obtenues à partir des propositions générales de la poristique.

Il s'agit de la mise en place, concomitante, d'une axiomatique de calculs sur les grandeurs (connues et inconnues) et d'un programme, censé fournir des règles heuristiques, qui impose trois étapes à la résolution d'un problème algébrique ou géométrique : la Formalisation, la Résolution générale, la Résolution particulière.

Viète y ajoute que, contrairement aux anciens analystes, sa méthode fait agir la résolution sur des symboles (« non iam in numeris sed sub specie »), ce qui en est un des apports majeurs. Il prédit en outre qu'après lui, la formation à la Zététique se fera par l'analyse des symboles et non par celle des chiffres.

Viète continue, dans cette seconde partie, à décrire les symboles employés dans les égalités et les proportions ; il donne des règles axiomatiques :

• De 1 à 6 sur les propriétés de l'égalité :

La transitivité de l'égalité, sa conservation par somme, soustraction, produit, et division,

• de 7 à 11 sur les propriétés des lois sur les fractions.
• de 15 et 16 sur l'égalité de fractions.

Viète poursuit ensuite en donnant les lois d'homogénéité ; distinguant ainsi les symboles selon leur puissance, 1 étant le côté (ou racine), 2 le carré, 3 le cube, etc. Cela exige que les facteurs de ces puissances soient d'homogénéité complémentaire, qu'il note

1. Longueur, 2 Plane, 3 Solide, puis 4 Plane/Plane, 5 Plane/Solide, 6 Solide/Solide, etc.

Viète fournit dans ce quatrième chapitre les préceptes de la logique spécieuse, c'est-à-dire les axiomes d'addition, de produit, etc, de symboles désignant des grandeurs de natures comparables.

Dans un premier temps, son attention se porte sur l'addition des grandeurs de même ordre, leur soustraction, en donnant des règles comme ${\displaystyle A-(B+D)=A-B-D}$ ou ${\displaystyle A-(B-D)=A-B+D}$

Puis, dans un second temps il la porte sur la dénomination des produits de quantités homogènes, sur la dénomination des quotients. Il note alors

${\displaystyle {\frac {A{\text{ plano}}}{B}}{\text{ subducere }}{\frac {Z{\text{ quadratum}}}{G}}{\text{ residua erit }}{\frac {A{\text{ planum in }}G-Z{\text{ quadrato in }}B}{B{\text{ in }}G}}}$

ce que l'on note aujourd'hui ${\displaystyle {\frac {A}{B}}-{\frac {Z^{2}}{G}}={\frac {AG-Z^{2}B}{BG}}}$ sans s'attacher à marquer l'homogénéité des facteurs.

Pour la définition de la Zététique dans son sens actuel, voir Zététique.

Dans ce chapitre se trouvent renfermés les fondements de la formulation des équations et particulièrement dans le point 5 de ce chapitre, l'idée qu'il convient de réserver certaines lettres aux quantités connues (datas) et d'autres aux quantités inconnues (incertitus), Viète désignant, dans une première version, les premières par des voyelles et les secondes par des consonnes.

Suivent alors quelques propositions.

L'ouvrage se termine sur deux courts chapitres qui décrivent comment en pratique, il convient de mener l'analyse du problème, sa résolution et sa vérification géométrique.

Viète développe l'idée que, une fois la modélisation achevée par l'art de la zététique, le mathématicien produit ses théorèmes selon son invention et dans les règles de la syntaxe, comme cela a été établi depuis l'antiquité avec Apollonius, Théon et Archimède.

Pour la définition de l'Exégétique dans son sens courant, voir Exégétique.

Divisant l'exégétique en deux parts, une numéreuse et une géométrique, Viète explicite dans ce chapitre la nécessité de transformer la 'formule' générale obtenue à la fin de l'examen poristique en un résultat chiffré ou une construction géométrique. Le mathématicien doit, selon les cas, se faire arithméticien, en montrant qu'il sait extraire les racines et calculer leurs affectations ou géomètre et établir par une figure le résultat vrai[26]. Il précise d'ailleurs que le résultat obtenu sur les lettres est également vrai, mais d'une vérité d'une autre nature qu'il ne précise pas.

Dans cette dernière partie, Viète définit encore quelques notations, et résume les vingt-neuf étapes du raisonnement ; il y définit notamment les racines d'ordre 1 et 2 (en fait carrée et cubique dans la nomenclature actuelle). À la fin de ce chapitre il annonce que, par cette méthode, on pourra résoudre le problème de tous les problèmes, à savoir : ne laisser aucune question irrésolue ou Non nullum problemum solvere[13]

Le manuscrit publié par Vasset contient en place de la définition de la poristique et de l'exégétique, quelques résultats sur le développement du binôme (jusqu'au degré 6) et des théorèmes généraux de poristique dont la façon d'insérer tant de moyennes proportionnelles qu'on voudra entre deux longueurs, ce qui signifie que la suite ${\displaystyle A^{6},A^{5}B,A^{4}B^{2},A^{3}B^{3},A^{2}B^{4},AB^{5},B^{6}}$ est géométrique.

Traduisant Viète, Vasset écrit :

A - B cubus cubus aequabitur A cubo-cubus - 6 A quadrato-cubus in B + 15 A quad.quad. in B quad. - 20 A cubus in B cubum + 15 A quadratum in B quad.-quad - 6 A in B quad.-cub. + B cubus-cubus

en place de ${\displaystyle (A-B)^{6}=A^{6}-6A^{5}B+15A^{4}B^{2}-20A^{3}B^{3}+15A^{2}B^{4}-6AB^{5}+B^{6}}$.

Il donne ensuite la règle de formation des coefficients binomiaux (déjà connue de Tartaglia et de Stiffel), notant que pour former les coefficients du développement, il suffit d'additionner, dans le développement de la puissance précédente, le premier et le second coefficient, le second et le troisième, etc., ce qui donne en pratique le triangle de Pascal.

Ingénieur des ponts et chaussées en poste à Fontenay le Comte, Frédéric Ritter a passé sa vie à étudier l'œuvre de Viète. Il a écrit une biographie et une traduction de son œuvre qui demeurent largement inexploitées. En 1868, le comte Baldassare Boncompagni publie dans son bulletin[27] les 50 premières pages extraites de cet ouvrage qui ne compte pas moins de neuf livres. Ritter y livre sa traduction de l'algèbre nouvelle de Viète telle que la publie Frans Van Schooten en 1646. Les variantes sont importantes et, quoique le plan initial et celui de Vasset soient respectés, cette traduction jette un regard neuf sur le projet des éditeurs de Viète.

De plus, Ritter et Boncompagni publient dans ce bulletin la traduction des Notae priores — première série des formules de l'algèbre spécieuse — véritable introduction aux livres des Zététiques. C'est cet ouvrage que nous détaillons ici.

La traduction des Notae priores par Ritter

Généralités

Le traité se décompose en deux parties, l'une algébrique, l'autre géométrique. Les premières propositions sont assez innocentes et préparent le travail ultérieur :

Proposition I : Trois grandeurs étant données trouver une quatrième proportionnelle.

Proposition II : Deux grandeurs étant données, trouver une troisième proportionnelle, une quatrième, une cinquième, et d'autres grandeurs continuellement proportionnelles d'ordre ultérieur, jusqu'à l'infini.

Proposition III : Trouver une moyenne proportionnelle entre deux carrés donnés.

Proposition IV : Trouver deux moyennes continuellement proportionnelles entre deux cubes donnés

Proposition V : Entre deux côtés donnés, trouver un nombre quelconque de moyennes continuellement proportionnelles. À quoi Viète donne comme solution : A carré-cube, A carré-carré par B, A cube par B carré, A carré par B cube, A par B carrc-carré et B carré cube.

Proposition VI : À la somme de deux grandeurs ajouter leur différence. À quoi répond le théorème : La somme de deux grandeurs ajoutée à leur différence est égale au double de la plus grande.

(la différence étant prise en valeur absolue)

Proposition VII : De la somme de deux grandeurs retrancher leur différence. À quoi répond le théorème : La somme de deux grandeurs diminuée de leur différence, est égale au double de la plus petite.

Proposition VIII : Lorsqu'une même grandeur est diminuée de quantités inégales, retrancher l'une des différences de l'autre. À quoi répond le théorème : Si une grandeur est diminuée de quantités inégales, la différence de restes est la même que la différence des quantités soustraites.

La démarche est identique pour les propositions qui suivent :

Proposition IX : Lorsqu'une même grandeur est augmentée de quantités inégales, retrancher l'une des sommes de l'autre.

Proposition X : Lorsqu'une même grandeur est augmentée et diminuée de quantités inégales, retrancher l'une de l'autre.

Le binôme de Newton

Viennent alors des propositions relevant du développement du binôme.

Proposition XI : Former une puissance pure d'une racine binôme. Viète donne ici les développements du carré de A+B, de son cube, du carré-carré, et ainsi de suite jusqu'au cubo-cube, reconnaissant une règle de formation des monômes et l'identité de lecture gauche droite du développement du binôme.

Proposition XII : Au carré de la somme des côtés, ajouter le carré de leur différence. À quoi répond le théorème : Le carré de la somme des côtés plus le carré de leur différence est égal à deux fois la somme des carrés.

Proposition XIII : Du carré de la somme des deux côtés retrancher le carré de leur différence. À quoi répond le théorème : Le carré de la somme de deux côtés moins le carré de leur différence est égale à quatre fois le produit plan de ces côtés. Puis une remarque importante, notée dans un langage contemporain ${\displaystyle xy\leq \left({x+y \over 2}\right)^{2}}$

Les identités remarquables

Viennent quelques identités remarquables :

Proposition XIV : Multiplier la différence de deux côtés par leur somme.

Proposition XV : Au cube de la somme de deux côtés ajouter le cube de leur différence.

Proposition XVI :Du cube de la somme de deux côtes retrancher le cube de leur différence.

Proposition XVII : Multiplier la différence de deux côtés par les trois plans partiels, qui composent le carré de la somme des mêmes côtés, ces plans étant pris une fois seulement. Ce qui traduit en théorème donne ${\displaystyle (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=x^{3}-y^{3}}$

Proposition XVIII : Multiplier la somme de deux côtés par les trois plans partiels, qui composent le carré de la différence des mêmes côtés, ces plans étant pris une fois seulement. Ce qui traduit en théorème donne ${\displaystyle (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+y^{3}}$

Proposition XIX : Multiplier la différence de deux côtés par les quatre solides partiels, qui composent le cube de la somme des mêmes côtés, ces solides étant pris une fois seulement. Ce qui traduit en théorème donne ${\displaystyle (x-y)(x^{3}+x^{2}y+yx^{2}+y^{3})=x^{4}-y^{4}}$

Proposition XX : Multiplier la somme de deux côtés par les quatre solides partiels, qui composent le cube de la différence des mêmes côtés, ces solides étant pris une fois seulement. Ce qui traduit en théorème donne ${\displaystyle (x+y)(x^{3}-x^{2}y+yx^{2}-y^{3})=x^{4}-y^{4}}$

Les propositions qui suivent,

Proposition XXI donnant ${\displaystyle (x-y)(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+yx^{3}+y^{4})=x^{5}-y^{5}}$ et l'analogue Proposition XXII ainsi que les deux suivantes, du degré 6 terminent cette première collection de formules de base. Viète les généralise sous forme de deux théorèmes. On donne le second :

« Le produit de la somme de deux côtés par les termes homogènes, qui composent la puissance de la différence des mêmes côtés, ces termes étant pris une fois seulement, est égal à la somme où à la différence des puissances de l'ordre immédiatement supérieur, c'est-à-dire à la somme, si le nombre des termes homogènes est impair, et à la différence, si le nombre des termes homogènes est pair. »

Baldassare Boncompagni

Préparations à la résolution d'équations

Les propositions d'après sont à la base de la résolution des équations exposée par VIète dans le Numerosa Potestate. Elles sont extrêmement répétitives, vu l'impossibilité pour Viète de donner un sens à une longueur orientée (ce travail ne sera accompli qu'au XIX^e siècle par Hermann Grassmann avec la création de l'algèbre extérieure). Les propositions XXV à XXXIII apprennent à former par exemple le carré affecté par l'addition du plan sous le côté, produit par un coefficient sous latéral de longueur convenablement choisie c'est-à-dire, selon l'écriture moderne à constater que ${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}+dx+dy=(x+y)(x+y+d)=(x+y)^{2}+d(x+y)}$ et ainsi de suite jusqu'au développement de ${\displaystyle (x+y)^{5}(x+y+d)}$. Les propositions XXXIV à XXXVI reprennent les précédentes avec une soustraction, Les propositions XXXVII à IXL mêlent soustraction et addition dans le même esprit. Les propositions XL à XLIV reprennent les mêmes développement pour ${\displaystyle d(x+y)-(x+y)^{n}}$, pour n entre 2 et 6.

Complexes et triangles rectangles

Dans une dernière partie, Viète et Ritter s'attaquent à la représentation par des figures (des triangles) d'un certain nombre de problèmes classiques.

Proposition XLV : Avec deux racines données former un triangle rectangle. Cela revient à vérifier géométriquement que ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+(2xy)^{2}.}$

Proposition XLVI: Avec deux triangles rectangles former un troisième triangle rectangle. Cela revient à montrer que pour ${\displaystyle x,y,z,t}$, on a ${\displaystyle (xz+yt)^{2}+(xt-yz)^{2}=(x^{2}+y^{2})(z^{2}+t^{2})}$, identité qui prend tout son sens si on la lit comme le produit des carrés des modules de deux nombres complexes. On l'attribue généralement à Lagrange. Viète retrouve ainsi, géométriquement, les principes à la base du calcul des imaginaires, initiés 50 ans plus tôt par Scipione del Ferro. Mais le lien entre ces formules géométriques et leurs équivalents complexes ne sera véritablement établi qu'au XIX^e siècle, par Gauss.

Viète résout par la suite les problèmes suivants :

Proposition XLVII : Avec deux triangles rectangles semblables former un troisième triangle rectangle tel que le carré de l'hypoténuse du troisième soit égal à la somme des carrés de l'hypoténuse du premier et de l'hypoténuse du second.

Proposition XLVII : Avec deux triangles rectangles égaux et équiangles, former un troisième triangle rectangle.

Proposition XLVIII : Avec le triangle rectangle de l'angle simple, et le triangle rectangle de l'angle double former un triangle rectangle. Ce troisième triangle sera nommé « triangle de l'angle triple ».

Il joue par la suite (jusqu'à la Proposition LI) avec l'angle triple, l'angle quadruple, puis poursuit à l'ordre supérieur, et ainsi de suite à l'infini, découvrant géométriquement (et sans le dire explicitement puisque Viète ne reconnaît pas l'existence des imaginaires) que les parties réelles et imaginaires de ${\displaystyle (x+Iy)^{n}}$ s'obtiennent en fait en alternant les coefficients des binômes qu'il a développés dans les précédentes parties.

Suivent d'autres propositions, qui forment le sommet de cet art, qu'on peut interpréter en termes complexes, et dont la solution géométrique figure ici :

Proposition LII. : Composer un triangle rectangle avec la somme de deux racines et leur différence.

Proposition LIII. Avec la base d'un triangle rectangle donné et la somme de son hypoténuse et de sa perpendiculaire, former un triangle rectangle.

Proposition LIV : Déduire d'un triangle rectangle deux triangles rectangles de même hauteur, tels que le triangle de même hauteur formé par leur juxtaposition (dont les cathètes seront les hypoténuses de ces triangles, et dont la base sera la somme de leurs bases) aura l'angle au sommet droit.

 

Dans la foulée de l'Isagoge, Viète publie le Zeteticorum libri quinque, qui complète et enrichit l'algèbre nouvelle. Zététique vient du grec zêtêin : chercher à pénétrer la raison des choses[29].

Cet ouvrage est composée de cinq livres renfermant dix problèmes de recherche de quantités dont on connaît la somme ou la différence et le quotient ou le produit, des équations de degré 2 et 3 et des partitions de nombres en carrés. Il y offre un exemple de la logistique symbolique et termine avec un problème de Diophante.

Ces cinq livres développent la méthode proposée dans l’Isagoge.

L'algèbre nouvelle y est présenté comme un nouveau langage pour formaliser le calcul mais aussi comme l’instrument permettant de poser et de résoudre de nouveaux problèmes. Ces livres sont un banc d’essai, où Viète traite des questions soulevées par Diophante à la façon des anciens mais aussi, particulièrement dans le livre III, des questions nouvelles, sans équivalents chez Diophante[30].

On y trouve entre autres, le joli problème suivant :

Dato adgregato extremarum, et adgregato mediarum in serie quatuor continue proportionalium, invenire continue proportionales.

Et quelques questions d'arithmétique résolues à l'aide de triangles rectangles rappelant par leurs longueurs les parties réelles et imaginaires du produit de deux nombres complexes. On donne ci-dessous un résumé des questions exposées dans quelques-uns de ces livres ; on les donne traduits en langage moderne d'après l'original et les traductions de Vaulezard, celles de Frédéric Ritter dans ses notes[31]^,[32] et l'exposé qu'en fait Jean Grisard[33].

La nouveauté de ce procédé fait écrire à Grisard :

« Que dire en conclusion qui n'ait été dit sur les Zététiques ? Ils sont peut-être un des ouvrages les plus importants de l'histoire des mathématiques. En effet, marquent un tournant, ils constituent une période charnière entre les mathématiques classiques, au XVI^e siècle, héritées par un canal ou un autre, des anciens, et les mathématiques de type moderne (lesquelles sont elles-mêmes en train de devenir classiques, aujourd'hui[33]. »

En 1593, dans Effectionum Geometricarum Canonica recensio ou revue canonique des constructions géométriques, Viète commence par démontrer les relations entre les constructions géométriques et les équations algébriques. Son objet est la résolution graphique des équations du second degré ; on y trouve également les solutions de problèmes de géométrie du second degré traités algébriquement.

En 1593, dans le Supplementum geometriae, Viète donne une caractérisation plus complète de la poristique. On y trouve : la trisection de l'angle ; la construction de l'heptagone régulier ; la résolution des équations cubiques ou quadrato-quadratiques et leur équivalence aux problèmes de trisection angulaire.

En 1592-1593, dans Variorum de Rebus Mathematicis Responsorum, Liber VIII, Viète donne une réponse aux problèmes soulevés par Scaliger. Il y traite à nouveau des problèmes de duplication du cube et de trisection de l'angle. Ce qu'il appelle un problème irrationnel.

En 1600, dans De Numerosa Potestatum ad Exegesim resolutione, Viète, aidé par Marin Ghetaldi, se fixe pour but initial de résoudre des équations de degrés quelconques à l'aide de radicaux. Cette croyance sera déçue définitivement par Niels Abel en 1828. Il donne en compensation une méthode d'approximation des racines d'une équation. Cette méthode influencera Newton et la règle de Newton-Raphson lui doit beaucoup. Joseph Raphson l'a énoncé en 1690.

Le De Recognitione

En 1615, dans le De Recognitione æquationum publié par Anderson, on trouve parmi vingt chapitres assez répétitifs, le lien entre coefficients et racines, des équations dans lesquelles l'inconnue entre par son cube et sa première puissance, La manière de faire disparaître le second terme d'une équation (ou méthode de Ferrari pour la résolution des équations de degré 4) et l'équivalence entre les équations du troisième degré et connaissant la première de quatre grandeurs continûment proportionnelles, et la différence entre la seconde et la quatrième, de trouver cette seconde. Viète donne encore dans cet ouvrage quelques moyens d'abaisser le degré d'une équation. Maximilien Marie, les résume sur quelques pages[28] :

« Après avoir indiqué, dans les deux premiers chapitres, les questions qu'il traitera et les moyens qu'il emploiera pour les résoudre, Viète s'occupe, dans le troisième et le quatrième, de former les énoncés les plus généraux des problèmes de Géométrie pouvant conduire aux équations quadratiques et cubiques ; celles-ci manquant d'abord du terme qui contiendrait le carré de l'inconnue. Il montre qu'il s'agit toujours de problèmes relatifs à trois ou quatre grandeurs continuement proportionnelles. Il distingue, dans chacun des deux degrés, trois cas,... car la manie des distinctions n'était pas encore tombée en désuétude. »

Les questions se ramènent à : connaissant la moyenne de trois grandeurs continûment proportionnelles et la différence ou la somme des extrêmes ; trouver la plus petite de ces extrêmes, la plus grande ou les deux extrêmes. Les mêmes questions se posent si, connaissant la première de quatre grandeurs continûment proportionnelles et la somme de la seconde et de la quatrième, de trouver la seconde. Ces équations se ramènent aux problèmes suivants : connaissant la première de quatre grandeurs continûment proportionnelles et la différence entre la quatrième et la seconde, de trouver cette seconde.

Viète traite de même, les trois équations cubiques dans lesquelles l'inconnue entre par son cube et son quarré, qu'il ramène par ailleurs à celles où l'inconnue entre par son cube et sa première puissance. Dans le chapitre VII, ali methodo transmutandarum æquationum, il donne les transformations qui altèrent les racines, et celles où les racines demeurent invariables.

On y trouve comment augmenter ou à diminuer toutes les racines d'une grandeur donnée ou les modifier en les multipliant par une raison donnée. Enfin, Viète enseigne la manière de faire disparaître le second terme d'une équation ; procédé mis en œuvre dans les chapitres IX, X, XI, XII, XIII et XIV.

Dans le chapitre XV est exposée la théorie des équations du second degré (Viète ne considère que les racines positives)

Dans le chapitre XVI, il donne les liaisons entre les coefficients et les racines.

Le De Emendatione

Dans le De Emendatione æquationum, publié la même année par Anderson, et composé de quatorze chapitres, on trouve les noms que Viète donnait à quelques opérations algébriques : L'Isomérie pour faire disparaître les dénominateurs des équations sans introduire de coefficient à la plus haute puissance de l'inconnue ; la climactique Paraplérosine pour ramener une équation du quatrième degré à une équation du second en prenant comme intermédiaire une équation du troisième, méthode semblable à celle de Ferrari (que Viète redécouvre à l'occasion). On y retrouve également (sous le nom de duplicata Hypostasîs) la résolution des équations du troisième degré (Cardan n'ayant publié que la vérification d'une formule juste, mais empirique)[28].

Enfin, ce livre expose (par l'exemple et jusqu'au degré 5) la décomposition d'un polynôme ayant autant de solutions que son degré.

L'introduction de notations littérales pour les paramètres dans les équations algébriques et la volonté de dégager l'algèbre des règles embrouillées et des procédures médiévales, en lui apportant une formalisation efficace, sont au cœur du projet de François Viète. Mais pour établir cette formalisation, il a fallu à Viète réaliser bien plus et l'Isagoge est l'exposé d'une science nouvelle des individus et des espèces, affirme Lucien Vinciguerra[34] qui n'hésite pas à mettre en parallèle l'Isagoge et le Discours de la méthode.

L'idée de noter par des lettres une inconnue a déjà été introduite par Euclide, et à sa suite par Diophante, toutefois, il s'agit ici de géométrie ou d'abréviations, dans une langue où chaque lettre cache un chiffre ou un nombre et sans qu'aucune règle de calcul explicite ne permette de suivre un calcul formel réduit à l'état de pure notation. De surcroît, toute l'algèbre antique repose sur l'obtention de figures résolutoires (appelées gnomons[35]), qui remplacent la formalisation algébrique, mais rendent difficile la résolution d'équations de grand degré[36].

Les mathématiciens arabes, qui ont repris une grande part des exigences des géomètres grecs, ont donné à l'algèbre une première autonomie. Toutefois, les mêmes obstacles linguistiques[37] ne leur ont pas permis de fixer ces règles sous la forme de formule littérale comparable à celle de notre algèbre moderne et leur symbolique apparaît, dans l'état des recherches actuelles, limitée à des abréviations[38].

La notation de l'inconnue par une (seule) lettre fut reprise par Jordanus Nemorarius au XII^e siècle, puis par les calculateurs médiévaux. Ni Michael Stifel ni Regiomontanus en Allemagne au XVI^e siècle, ni le lyonnais Nicolas Chuquet, pourtant très en avance sur son temps, ni Luca Pacioli, ni Bombelli et encore moins Cardan n'ont cependant donné à leurs notations le caractère général qu'elles auront avec Viète. Jusqu'à l'Isagoge toutes les grandeurs mesurables ne peuvent intervenir ensemble dans une équation sous forme d'inconnues et de paramètres.

Pierre de La Ramée.

Pour réaliser son projet de formalisation des questions géométriques, Viète dut donc décrire de nouvelles règles de multiplications, d'additions, de soustraction, etc, opérant, non sur les nombres, mais sur les grandeurs (longueur, aire, volume, etc). Car Viète adopte le principe de base des géomètres grecs selon lequel on ne peut additionner, soustraire et prendre le rapport que pour des grandeurs homogènes[39]. La nécessité de conserver l'homogénéité des formules s'en déduit comme celle de donner des noms différents à ces opérations. Par exemple, la multiplication des grandeurs, (ducere in), notation héritée des italiens et de leurs prédécesseurs arabes traduit concrètement l'idée qu'on mène le côté a sur le côté b pour former le rectangle ab. Leur soustraction est notée du signe =, qui, à l'époque, n'a pas encore pris son sens actuel d'égalité.

L'idée d'opérer sur des symboles (species) peut en partie s'expliquer par ses études juridiques[40] ; le mot species désignant alors l'ensemble de leurs clients dans le jargon des avocats (première profession du protégé des Parthenay)[41].

L'idée de noter par des voyelles et des consonnes, les unes réservée aux inconnues, les autres aux quantités connues (ou paramètres) les points du plan, les angles, ou les longueurs des côtés d'une figure géométrique, avait déjà été exploré dans l'antiquité et au XVI^e siècle par Ramus (dont Viète parle comme d'un homme très subtil : logikotatos[42]) ; Guillaume Gosselin et Jacques Peletier du Mans avaient fait évoluer ces notations de façon décisive entre 1560 et 1570, donnant des moyens effectifs de travailler avec deux inconnues. Pour autant, leur algèbre, comme celle de Pedro Nunez[43], demeurait essentiellement numérique.

En l'état actuel des connaissances, l'Isagoge est donc le premier livre où apparaissent les fondements du formalisme actuel (Les manuscrits de Thomas Harriot, publiés pour la première fois en 2007, laissent penser que le mathématicien anglais avait élaboré (vers la même époque) des prémices de calcul littéral, mais les avait tenus secrets[44]).

Pour autant l'apport de l'Isagoge ne se limite pas à cette considérable invention : les résultats annoncés par cette méthode sont variés et nombreux. Ils vont de la détermination des solutions positives des équations de degré 2, 3 et 4 à l'énoncé des relations entre coefficients et racines d'un polynôme, qu'en anglais, on nomme la formule de Viète[45] ; les formules du binôme, et la formation des coefficients binomiaux, qui seront reprises par Pascal et Newton ; l'apparition du premier produit infini, la reconnaissance du lien entre trisection de l'angle et équation du troisième degré ; et cette innovation, considérée comme l'une des plus importantes dans l'histoire des mathématiques, ouvre véritablement la voie au développement de l'algèbre moderne[46].

Mais il y a plus. Car la nécessité de fonder un calcul symbolique sur les grandeurs en respectant l'homogénéité (exigence des anciens renouvelée par Ramus), a obligé Viète à expliciter comment se conduisent les opérations sur les grandeurs mêmes. Et cette contrainte a fait de l'Isagoge, un véritable programme de raisonnement. Ainsi, il serait profondément réducteur de résumer son projet à l'idée de noter les quantités connues et inconnues par des lettres. L'ouvrage propose véritablement une première axiomatique algébrique ; et on saisit par ce biais tout ce qu'a de moderne l'exposé de Viète, qui en développant son idée de façon systématique, offre en fait dans cette introduction à l'Art de l'Analyse, non seulement un premier travail d'algèbre symbolique abouti, mais aussi une première mise en forme de l'art de raisonner algébriquement semblable à ce qu'avait réalisé Euclide pour la géométrie[47].

Selon le mot de Maximilien Marie, Viète fit de la bonne algèbre avec de l'excellente géométrie. Toutefois, dans son désir de faire respecter la forme homogène de l'écriture diophantienne[28], Viète a été amené à conserver le langage des Anciens. Son latin, mâtiné de grec, n'est pas toujours aisé à lire. Le mathématicien forge des mots nouveaux à l'instar des membres de la Pléiade ; comme le fait remarquer Frédéric Ritter en 1868 dans son Introduction à l'art analytique de François Viète[48] :

« Logistices speciosa, arithmétique spécieuse. Speciosa du latin species, forme, image, figure ; arithmétique dans laquelle les nombres sont représentés par des images, des figures. Cette acception du mot speciosa a été créée par Viète, car elle n'a aucun rapport avec celles du mot latin ou français, propres ou figurées. C'est pour ce motif que je l'ai également adoptée, car elle caractérise mieux la pensée de l'auteur que les mots symboliques, figurée, littérale, etc. que j'avais d'abord eu l'intention d'employer. »

De même, le choix de partager l'alphabet en voyelle (inconnues) et consonnes (paramètres), quoique directement hérité de Ramus, ne se révèle pas des plus heureux. S'il marque le renouveau des études des langues sémitiques au XVI^e siècle[49], il ne résistera pas aux choix opérés par Descartes de réserver aux inconnues les dernières lettres de l'alphabet.

De surcroît, l'écriture qu'il forge fournit une symbolique réduite pour noter la multiplication (in), les racines ou l'égalité (aeq, ou aequabitur), les puissances (même si on trouve sous la plume d'Anderson qc, ou quadcubo pour quadrato-cubus soit ${\displaystyle {A^{5}}}$) ; elle n'a pas le caractère achevé que lui donnera le grand siècle et ses exigences d'homogénéité la condamne à faire sans cesse référence au sens géométrique des paramètres en jeu. Cette seconde révolution dans l'art algébrique sera accompli à la génération suivante avec les publications d'Alexander Anderson, de William Oughtred, de Thomas Harriot, de Noël Duret, puis après eux, de Pierre de Fermat, de René Descartes et de Frans van Schooten. L'incomplétude de ces notations se fait d'ailleurs sentir très tôt : lorsque Albert Girard rend hommage à Viète[50] :

Fac-similé de La Géométrie

Touchant François Viète, qui surpasse tous ses devanciers en l'algèbre, on peut voir en son traité (De recognitione equationium)…

il lui reproche déjà d'oublier dans ses résolutions les solutions négatives (moins que rien) et complexes (qu'il nomme enveloppées). Mais la même année, James Hume de Godscroft note déjà ${\displaystyle {A^{iii}}}$ en place de ${\displaystyle A{\text{ cubus}}}$ préparant la synthèse entre les points de vue de Viète et d'Harriot.

Toutefois, lorsque Viète écrit :

${\displaystyle {\frac {S{\text{ in }}A{\text{ planum }}+R{\text{ bis in }}A{\text{ planum }}}{R}}{\text{ aequabitur }}B{\text{ plano }}}$

ce qui s'écrit aujourd'hui

${\displaystyle {\frac {SA+2RA}{R}}=B}$

on voit en germe qu'il s'agit d'une écriture efficace, qui autorise les remplacements et les transformations mécaniques. À terme, c'est toute la façon de penser les mathématiques, et le monde, qui s'en verra modifiée[51]. Comme l'assure Michel Serfati[52] :

« Tout l'art (mathématiques) consiste à faire que cette convention (séparer le connu de l'inconnu) soit intériorisée ; après, on calcule librement. Ce rapport que nous entretenons avec le système symbolique a été à la source de la formation d'une communauté, à savoir celle des mathématiciens, en même temps qu'il nous sépare des autres communautés. Les professeurs de mathématiques me comprennent très bien : ils rencontrent cette difficulté avec leurs élèves. Certains ne sont pas d'accord avec la convention initiatique. C'est elle qui, à mon avis, sépare les mathématiciens des autres communautés savantes. »

Après Viète, les Français Pierre de Fermat et Roberval[53], le Hollandais Snellius, les Anglais Thomas Harriot et Newton, ainsi que Christian Huygens utiliseront des notations de Viète[54]. Plus tard, Leibniz, qui appréciait son héritage[55] cherche à faire en analyse ce que Viète a fait pour les équations[56] mais après 1649 et la réédition de La Géométrie de Descartes, sa renommée sera éclipsée par celle du philosophe de la Haye, qui avait rénové en profondeur ce formalisme, et auquel le siècle suivant attribuera souvent, à tort, l'entière paternité de la formalisation algébrique[57].

On consultera également :

• Ms 2004-2012Manuscrits de Frédéric Ritter, ingénieur en chef des Ponts-et-Chaussées, relatifs à François Viète Sur calame, la liste des traductions de Frédéric Ritter.
• Viète , sur le Portail des IREM, avec les références des versions et des traductions de l'Isagoge.
• Le site de Jean-Paul Guichard hébergé par la communauté de communes de Parthenay
• Le site Chronomath et sa page Viète.
• Jean-Louis Gardies : Du mode d'existence des objets de la mathématique
• (en) François Viète sur le site de Mac Tutor de l'université de Saint Andrews
• P. Costabel À propos d'un problème de Roberval.

• Le texte en latin : sur Gallica
• François VIÈTE, “Introduction à l’Art analytique”. Cahiers François Viète n^o 7, Université de Nantes, septembre 2004. Contient : le texte de 1591 en latin, la traduction française de Frédéric Ritter, une présentation, des remarques et notes d’Anne Boyé.
• La traduction de Frans van Schooten : Francisci Vietae Opera Mathematica. Rassemblées par F. Van Schooten. Leyde, Elzévir, 1646, 554 p réédité par Georg Olms Verlag, Hildesheim-New-York, 1970.
• La traduction d'Antoine Vasset : L'algèbre nouvelle de Mr Viète ; imprimée chez Pierre Rocolet (A Paris) Bibliothèque nationale de France, département Littérature et art, V-6922 (bis)
• Viète, François, 1540-1603 : La nouvelle algèbre de M. Viète :précédée de Introduction en l'art analytique /[traduction et commentaire], Vaulézard ; [texte revu par Jean-Robert Armogathe] [Paris] : Fayard, [1986] 271 p.
• Les cinq Livres des Zetetiques de Francois Viete par J. L. Vaulezard : en français 1630 ; édité à Paris chez J.Jacquin.
• Louis Charbonneau, L'algèbre de François Viète, au cœur de son programme analytique
• Jean-Paul Guichard, « L’algèbre nouvelle de Viète et ses héritiers », dans Circulation, transmission, héritage, actes du colloque de Caen, 28-29 mai 2010, IREM de Basse-Normandie, 2011 Sommaire sur le Portail des IREM.
• (en) W. W. Rouse Ball (1850-1925), A short account of the history of mathematics (1893)
• (en) D. J. Struik, A source book in nathematics, 1200-1800, Harvard University Press, 1969 p. 73-81
• (en) François Viète et T. Richard Witmer, The Analytic Art: Nine Studies in Algebra, Geometry and Trigonometry

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