Relations entre coefficients et racines

On définit le ${\displaystyle k}$-ième polynôme symétrique à ${\displaystyle n}$ indéterminées, noté ${\displaystyle \sigma _{k}}$, comme la somme de tous les produits à ${\displaystyle k}$ facteurs de ses indéterminées. (Il y a ${\displaystyle {n \choose k}}$ tels produits possibles.) Par exemple, les polynômes symétriques associés aux indéterminées ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle z}$ sont :

${\displaystyle \sigma _{0}=1}$,

${\displaystyle \sigma _{1}=w+x+y+z}$,

${\displaystyle \sigma _{2}=wx+wy+wz+xy+xz+yz}$,

${\displaystyle \sigma _{3}=wxy+wyz+xyz+xzw}$,

${\displaystyle \sigma _{4}=wxyz}$.

Plus généralement, en considérant les polynômes symétriques ${\displaystyle \sigma _{1}\cdots \sigma _{n}}$ à ${\displaystyle n}$ indéterminées,

${\displaystyle \sigma _{0}(x_{1},\cdots x_{n})=1}$,

${\displaystyle \sigma _{1}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$,

${\displaystyle \sigma _{2}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{k}}}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \sigma _{n}(x_{1},\cdots x_{n})=x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}$.

Soient ${\displaystyle P=\Sigma _{j=0}^{n}a_{j}X^{j}}$ un polynôme scindé de degré ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle x_{1}\cdots x_{n}}$ ses ${\displaystyle n}$ racines (les racines multiples étant comptées plusieurs fois). Alors pour tout ${\displaystyle k\in [[0;n]]}$,

${\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},\cdots x_{n})=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

ce qui peut encore s'écrire

${\displaystyle a_{k}=a_{n}(-1)^{n-k}\sigma _{n-k}(x_{1},\cdots x_{n})}$

Ces relations se prouvent en développant le produit ${\displaystyle P=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$, et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de ${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}}$.

• Cas ${\displaystyle n=2}$. Soient ${\displaystyle P=aX^{2}+bX+c}$ et ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ses racines. Alors[2],

  ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$.

• Cas ${\displaystyle n=3}$. Soient ${\displaystyle P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d}$ et ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ses racines. Alors[3],

  ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$.

On se donne le polynôme ${\displaystyle P=X^{3}+2X^{2}+3X+4}$ avec ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ses racines. On veut déterminer la somme ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$. Pour cela, on dispose de l'identité suivante :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc)}$,

si bien que, d'après les relations de Viète :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(-2)^{2}-2\cdot 3=-2}$.

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose ${\displaystyle s_{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}}$, où les ${\displaystyle x_{i}}$ sont les racines de ${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{0}}$ (en particulier, ${\displaystyle s_{0}=n}$). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement[4] que, pour ${\displaystyle d\leq n}$ :

${\displaystyle a_{n}s_{1}+a_{n-1}=0}$,

${\displaystyle a_{n}s_{2}+a_{n-1}s_{1}+2a_{n-2}=0}$,

${\displaystyle a_{n}s_{3}+a_{n-1}s_{2}+a_{n-2}s_{1}+3a_{n-3}=0}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle a_{n}s_{d}+a_{n-1}s_{d-1}+\ldots +a_{n-d+1}s_{1}+da_{n-d}=0}$.