Clôture algébrique

Existence Soit K un corps. On choisit un ensemble Ω qui est infini non-dénombrable si K est fini, et qui est de cardinal strictement supérieur à celui de K si ce dernier est infini. On considère l'ensemble des triplets (L, +, x) avec L un sous-ensemble de Ω contenant K, et +, x font de L une extension algébrique de K.

On définit une relation d'ordre (L, + , x) ${\displaystyle \leq }$ (F, +, x) si L est contenu dans F et si la structure de corps sur L est induite par celle de F. Cela fait clairement de l'ensemble des triplets ci-dessus un ensemble ordonné inductif. Il suit du lemme de Zorn qu'il admet un élément maximal F. Il reste à montrer que F est une clôture algébrique de K.

Soit E une extension algébrique de F. On note d'abord que comme F est algébrique sur K, il est de même cardinal que K ou (lorsque K est fini) est au plus dénombrable. Il en est de même pour E. Donc le complémentaire de F dans E est de cardinal inférieur à celui de Ω\F (qui a le même cardinal que Ω). Il existe donc une application injective de E dans Ω qui soit l'identité sur F. On munit son image de la structure de corps induite par celle E, et on obtient alors une extension algébrique de F. Par maximalité de F, cette image est égale à F. Donc E est égal à F et ce dernier est algébriquement clos.

Unicité à isomorphisme près: Soient ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ deux clôtures algébriques de K. On considère les couples ${\displaystyle (L,\rho )}$ où L est une sous-K-extension de ${\displaystyle F_{1}}$ et où ${\displaystyle \rho :L\to F_{2}}$ est un K-homomorphisme de corps. L'ensemble de ces couples est non vide et est ordonné (de façon naturelle) inductif. Soit ${\displaystyle (L,\rho )}$ un élément maximal. Si a est un élément de ${\displaystyle F_{1}}$, on considère son polynôme minimal ${\displaystyle P(x)\in L[x]}$ sur L. Alors le polynôme ${\displaystyle \rho (P(x))\in \rho (L)[x]}$ admet une racine b dans ${\displaystyle F_{2}}$. Il existe un K-homorphisme ${\displaystyle L[a]\to F_{2}}$ qui vaut ${\displaystyle \rho }$ sur L et qui envoie a sur b. Par maximalité de ${\displaystyle (L,\rho )}$, on a ${\displaystyle L[a]=L}$, donc ${\displaystyle L=F_{1}}$. Comme ${\displaystyle \rho (F_{1})\subseteq F_{2}}$ est algébriquement clos, on a ${\displaystyle \rho (F_{1})=F_{2}}$. Donc ${\displaystyle \rho }$ est un K-isomorphisme de ${\displaystyle F_{1}}$ sur ${\displaystyle F_{2}}$.