Algèbre de Gerstenhaber

On dit que ${\displaystyle \langle G,\wedge ,[-,-]\rangle }$ est une algèbre de Gerstenhaber (graduée) lorsque :

• G est un espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-gradué, le degré d'un élément a étant noté ${\displaystyle |a|}$ ;
• Le « produit » ${\displaystyle \wedge }$ est de degré 0, c'est-à-dire que pour tout couple (a, b) d'éléments de G, ${\displaystyle |a\wedge b|=|a|+|b|}$ ;
• Le crochet de Lie ${\displaystyle [-,-]}$ est de degré -1, c'est-à-dire que pour tout couple (a, b) d'éléments de G, ${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$ ;
• ${\displaystyle \langle G,\wedge \rangle }$ est une algèbre graduée commutative ;
• ${\displaystyle \langle G[1],[-,-]\rangle }$ est une algèbre de Lie graduée (en) ;
• La « relation de Leibniz » suivante est vérifiée pour tous a, b, c éléments de G : ${\displaystyle [a,b\wedge c]=[a,b]\wedge c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b\wedge [a,c]}$.

• L'espace ${\displaystyle T_{\mathrm {poly} }(\mathbb {R} ^{d})}$ des multichamps de vecteurs, munis du produit extérieur et du crochet de Schouten-Nijenhuis (en), forme une algèbre de Gerstenhaber.
• L'algèbre extérieure d'une algèbre de Lie est une algèbre de Gesternhaber.
• Les formes différentielles sur une variété de Poisson forment une algèbre de Gesternhaber.
• La cohomologie de Hochschild H*(A,A) d'une algèbre graduée A est une algèbre de Gerstenhaber.
• L'homologie d'une E₂-algèbre (en) est une algèbre de Gerstenhaber.

• Théorie de la déformation (en)
• Opérade

• (en) Murray Gerstenhaber, « The cohomology structure of an associative ring », Annals of Mathematics, vol. 78,‎ 1963, p. 267–288 (DOI 10.2307/1970343, JSTOR 1970343)
• Grégory Ginot, « Homologie et modele minimal des algebres de Gerstenhaber », Annales Mathématiques Blaise Pascal, Université Blaise-Pascal, Département de mathématiques, vol. 11,‎ 2004 (lire en ligne)
• (en) Ping Xu, « Gerstenhaber algebras and BV-algebras in Poisson geometry », Communications in Mathematical Physics, vol. 200, n^o 3,‎ 1999, p. 545-560 (DOI 10.1007/s002200050540)

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