Homologie de Hochschild

La construction originelle de Hochschild est la suivante. Soit k un anneau, A une k-algèbre associative et M un A-bimodule. Si en outre A est un k-module projectif, alors on peut construire le complexe de chaînes ${\displaystyle C_{n}(A,M)=M\otimes A^{\otimes n}}$ où ${\displaystyle A^{\otimes n}}$ signifie n produits tensoriels de A avec lui-même.

Les opérateurs de faces sont les applications ${\displaystyle \partial _{i}^{(n)}:M\otimes A^{\otimes n}\to M\otimes A^{\otimes n-1}}$ définies par :

• ${\displaystyle \partial _{0}^{(n)}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}}$
• ${\displaystyle \partial _{i}^{(n)}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$
• ${\displaystyle \partial _{n}^{(n)}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}}$

Elles induisent sur chaque degré ${\displaystyle n}$ un opérateur de bord ${\displaystyle \partial ^{(n)}:C_{n}(A,M)\rightarrow C_{n-1}(A,M)}$ par:${\displaystyle \partial ^{(n)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\partial _{i}^{(n)}}$l'opérateur sur tous les degrés ${\displaystyle \partial }$ vérifiant bien ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$.

Les applications ${\displaystyle \partial _{i}^{(n)}}$ font de chaque module ${\displaystyle C_{n}(A,M)}$ un objet simplicial dans la catégorie des k-modules, c'est-à-dire un foncteur ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to k{\text{-}}\mathrm {Mod} }$ où ${\displaystyle \Delta }$ est la catégorie simpliciale.

L’homologie de Hochschild est l'homologie de ce module simplicial. De manière équivalente, c'est l'homologie du complexe de Hochschild : ${\displaystyle H_{n}(A,M)=\mathrm {Ker} (\partial ^{(n)})/\mathrm {Im} (\partial ^{(n+1)})}$

La cohomologie de Hochschild s'obtient par une construction analogue. C'est en particulier une algèbre de Gerstenhaber, ce qui motive la conjecture de Deligne.

En degré zéro, on a les expressions simples suivantes : ${\displaystyle HH_{0}(A,M)=M/[A,M]}$ et ${\displaystyle HH^{0}(A,M)=\{m\in M\,|\,am=ma{\text{ pour tout }}a\in A\}}$ où [A, M] désigne le k-sous-module de M engendré par am - ma pour tous les couples d'éléments de A et de M.

La définition précédente se généralise en remarquant que l'algèbre enveloppante de A est le produit tensoriel ${\displaystyle U={\mathcal {U}}(A)=A\otimes A^{\mathrm {op} }}$

Ainsi, les bimodules de A s'identifient aux modules sur l'algèbre enveloppante, de sorte qu'en particulier A et M sont des ${\displaystyle U}$-modules.

Le groupe d'homologie de Hochschild d'ordre n de A à coefficients dans M est donné par le foncteur Tor : ${\displaystyle HH_{n}(A,M)={\text{Tor}}_{U}^{n}(A,M)}$

Le groupe de cohomologie de Hochschild d'ordre n de A à coefficients dans M est donné par le foncteur Ext : ${\displaystyle HH^{n}(A,M)={\text{Ext}}_{U}^{n}(A,M)}$

Il est très courant de considérer le cas M = A, et on note alors ${\displaystyle HH_{n}(A)}$ et ${\displaystyle HH^{n}(A)}$ respectivement.

Cette définition se transporte naturellement au langage des catégories. En particulier, pour tout n, ${\displaystyle HH_{n}}$ est un foncteur de la catégorie des k-algèbres dans la catégorie des k-modules. Cette vision des choses permet de généraliser la notion d'homologie de Hochschild à des objets qui ne sont pas des k-algèbres : les catégories abéliennes, algèbre différentielles graduées, spectres d'anneaux et algèbres topologiques (en) notamment.

Le cercle ${\displaystyle S^{1}}$ peut être vu comme un objet simplicial dans la catégorie Fin* des ensembles finis et pointés. Si F est un foncteur ${\displaystyle F:\mathrm {Fin} ^{*}\to k{\text{-}}\mathrm {Mod} }$ alors on a un module simplicial en composant F avec ${\displaystyle S^{1}}$ : ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\mathrm {Fin} ^{*}{\overset {F}{\longrightarrow }}k{\text{-}}\mathrm {Mod} }$

L'homologie de ce module simplicial est appelée homologie de Hochschild du foncteur F.