Algèbre de von Neumann

Voici deux exemples de base d'algèbres de von Neumann :

• L'anneau L^∞(X) des fonctions mesurables essentiellement bornées sur un espace mesuré ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ est une algèbre de von Neumann commutative, dont les éléments agissent par multiplication ponctuelle sur l'espace de Hilbert L²(X) des fonctions mesurables de carré intégrable.
• L'algèbre B(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H est une algèbre de von Neumann, non commutative si l'espace de Hilbert est de dimension supérieure ou égale à 2.

Le centre d'une algèbre de von Neumann A est égal à l'intersection de A avec son commutant A' :

${\displaystyle Z(A)=A\cap A'.}$

Une algèbre de von Neumann est un facteur si son centre est réduit aux homothéties.

Voir la section correspondante de l'article anglophone (en).

Les algèbres de Von Neumann ont trouvé des applications dans divers domaines des mathématiques comme la théorie des nœuds, la physique statistique, la théorie quantique des champs, la théorie des probabilités libres, la géométrie non commutative ou la théorie des représentations.