Produit libre

Si G et H sont deux groupes, leur produit libre G∗H est défini comme le groupe (unique à isomorphisme près), dans lequel les groupes G et H s'injectent (i:G→G∗H et j:H→G∗H) avec la propriété universelle suivante :

Pour tout groupe K, pour tous morphismes g:G→K et h:H→K, il existe un unique morphisme f:G∗H→K qui prolonge à la fois g et h, c'est-à-dire tel que f∘i=g et f∘j=h.

Autrement dit, le produit libre est le coproduit (ou somme) dans la catégorie des groupes, par opposition au produit direct d'une famille de groupes, qui est un exemple de produit en théorie des catégories.

Cette définition s'étend en remplaçant (G,H) par une famille quelconque de groupes[1].

L'unicité de G∗H est assurée par sa propriété universelle. Démontrons son existence. On peut supposer que G et H sont disjoints, en les remplaçant si nécessaire par G×{1} et H×{2} (cf. Réunion disjointe)[1].

Un mot sur G et H est alors un produit formel s₁s₂…s_n où chaque s_i est un élément de G ou de H. On peut réduire un tel mot en répétant le plus possible les deux opérations :

• effacer une occurrence de l'élément neutre de G ou de H
• remplacer une succession de deux éléments de G par un seul élément (leur produit dans G), ou remplacer une succession de deux éléments de H par leur produit dans H.

Tout mot ainsi réduit est formé par une alternance d'éléments de G et d'éléments de H, par exemple g₁h₁g₂h₂…g_kh_k (ou encore g₁h₁g₂h₂…h_k-1g_k, ou h₁g₁h₂g₂…h_kg_k, ou enfin h₁g₁h₂g₂…g_k-1h_k).

Le produit libre G∗H est l'ensemble de ces mots réduits, muni de l'opération de concaténation puis réduction. (Il faut prouver que cette opération est une loi de groupe. L'existence du neutre et des symétriques se démontre très facilement, mais l'associativité est un peu moins évidente[2]. Un des procédés servant à la démontrer est l'artifice de van der Waerden[3]^,[4].)

Il est clair qu'un produit libre est toujours infini, sauf bien sûr le produit libre d'un groupe fini par des groupes triviaux.

Si G et H sont décrits par générateurs et relations

${\displaystyle G=\langle R_{G}\mid S_{G}\rangle \quad {\text{et}}\quad H=\langle R_{H}\mid S_{H}\rangle }$

alors une présentation de G∗H est :

${\displaystyle G*H=\langle R_{G}\cup R_{H}\mid S_{G}\cup S_{H}\rangle .}$

Par exemple :

• si G est le groupe cyclique d'ordre 2 et H celui d'ordre 3 :${\displaystyle G=\langle x\mid x^{2}=1\rangle ,\quad H=\langle y\mid y^{3}=1\rangle ,}$alors G∗H = ℤ₂∗ℤ₃ est le groupe${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}=1\rangle ,}$isomorphe au groupe projectif spécial linéaire PSL(2,ℤ) ;
• comme il n'y a aucune relation dans un groupe libre, tout produit libre de groupes libres est un groupe libre. Plus précisément, le groupe libre F_α de rang α est le produit libre de α copies de ℤ, et le produit libre de F_α par F_β est isomorphe à F_α+β.

En topologie algébrique, le théorème de van Kampen établit (sous certaines hypothèses de connexité par arcs) que le groupe fondamental d'un bouquet de deux espaces pointés est le produit libre de leurs groupes fondamentaux et plus généralement, que le groupe fondamental d'une réunion de deux ouverts est un produit libre amalgamé de leurs groupes fondamentaux.

En théorie de Bass-Serre (en), on montre que tout groupe muni d'une action à stabilisateurs finis sur un arbre peut être construit à partir de groupes finis par produits libres amalgamés et extensions HNN. Par exemple, l'action du groupe modulaire sur un certain pavage du plan hyperbolique permet d'exprimer ce groupe sous la forme ℤ₄∗_ℤ2ℤ₆.