Anneau (mathématiques)

En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs.

Pour les articles homonymes, voir Anneau.

L'anneau géométrique compris entre deux cercles concentriques est traité à l'article « Couronne (mathématiques) ».

Plus précisément, deux définitions différentes sont significativement représentées dans la littérature mathématique :

• la majorité des sources récentes définit un « anneau » comme un anneau unitaire, exigeant que la multiplication ait un élément neutre ;
• un nombre non négligeable d'ouvrages, en revanche, n'exige pas la présence d'une unité multiplicative. La structure qu'ils appellent alors « anneau » est ailleurs dénommée pseudo-anneau.

Les théories des anneaux unitaires et des pseudo-anneaux sont à bien des égards voisines, avec nombre d'énoncés communs. Elles divergent pourtant significativement en quelques points (par exemple les propriétés des idéaux maximaux).

Comme pour toutes les structures algébriques, il est souvent d'usage de désigner de la même façon un anneau et son ensemble support.

Enfin, on prendra garde à ce que les textes qui ne traitent que d'algèbre commutative utilisent souvent « anneau » comme un raccourci pour dire « anneau commutatif ».