Anneau unitaire

En mathématiques, un anneau unitaire, parfois anneau unifère, mais souvent simplement anneau[1] (voir anneau (mathématiques)), est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un triplet indiquant qu'on munit un ensemble de deux opérations qui satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres entiers relatifs.

Pour les articles homonymes, voir Anneau.

Aspect historique

L'étude des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du XIXe siècle. Elle est développée par les mathématiciens Dedekind, Hilbert, Fraenkel et Noether. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche d'une démonstration du grand théorème de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale et de la géométrie algébrique.

Dans le Xe Supplément de sa seconde édition des Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet, en 1871, Dedekind considère, à côté de la notion de corps (Körper), l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; il introduira un peu plus tard d'autres anneaux qu'il appelle ordres (Ordnung). Mais c'est David Hilbert qui emploie le terme d'anneau (Ring) pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire, dans son Rapport sur les nombres (Zahlbericht) de 1897 pour la Deutsche Mathematiker-Vereinigung[2].

Définition

Un anneau unitaire est un triplet noté (A,+,×) indiquant qu'on a muni l'ensemble A de deux opérations (appelées addition et multiplication) qui se comportent comme celles des entiers relatifs au sens précis suivant[3] : A muni de l'addition est un groupe abélien[4], la multiplication est associative, distributive par rapport à l'addition, et elle possède un élément neutre. Il est fréquent de confondre, par abus de notation, l'ensemble que l'on a muni des deux lois avec le triplet lui-même. Tout au long de cet article, on désignera l'anneau par son ensemble associé, au lieu de son triplet.

De façon plus détaillée, un anneau est un ensemble A dans lequel sont données[5] deux lois de composition interne, notées + et ∙, vérifiant les propriétés suivantes :

  • Quels que soient les éléments a, b et c appartenant à l'ensemble A :
    • (a + b) + c = a + (b + c)
    • a + b = b + a
    • (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
    • a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
    • (b + c) ∙ a = b ∙ a + c ∙ a
  • Il existe un élément, noté 0 et appelé élément neutre de la loi de composition interne +, tel que pour tout élément a appartenant à l'ensemble A :
    • a + 0 = 0 + a = a
  • Tout élément a appartenant à l'ensemble A possède un opposé, noté –a, qui vérifie :
    • a + (–a) = (–a) + a = 0
  • Il existe un élément, noté 1 et appelé élément neutre de la loi de composition interne ∙, ou élément unité[6], tel que pour tout élément a appartenant à l'ensemble A :
    • a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est elle aussi commutative[3]. En explicitant comme ci-dessus, c'est un anneau dans lequel l'identité suivante est vérifiée quels que soient les éléments a et b de l'ensemble A :

  • a ∙ b = b ∙ a.

Note terminologique : « anneaux » sans neutre multiplicatif

Une minorité d'auteurs définissent un anneau sans exiger l'existence d'un élément neutre pour la multiplication[7]. Le lecteur à la recherche d'informations sur cette structure, qui n'est pas l'objet du présent article, se réfèrera à l'article pseudo-anneau. Du fait de cette variabilité de définition, il peut être prudent lorsqu'on craint une confusion de préciser anneau unitaire (ou unifère[1]) lorsqu'on évoque un anneau au sens de cet article, un anneau ayant un neutre multiplicatif.

Exemples

Exemples d'anneaux commutatifs
  • L'ensemble à un seul élément {0} muni des opérations 0 + 0 = 0 et 0 · 0 = 0 est un anneau commutatif, appelé anneau nul, ou anneau trivial[8].
  • L'ensemble ℤ des entiers relatifs, muni de l'addition et de la multiplication est un anneau commutatif[9].
  • Un corps commutatif est un anneau commutatif pour lequel tous les éléments non nuls sont inversibles pour la multiplication. Parmi beaucoup d'autres, l'ensemble ℚ des nombres rationnels, l'ensemble ℝ des nombres réels, l'ensemble ℂ des nombres complexes, munis de l'addition et de la multiplication usuelles, sont des corps commutatifs, donc des anneaux commutatifs[10].
  • L'ensemble des classes de congruence modulo un nombre entier strictement positif donné n est un anneau commutatif pour la loi provenant la congruence ; il est noté ℤ/nℤ[9].
  • L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif est aussi un anneau commutatif[11].

Exemples d'anneaux non commutatifs

Contre-exemples
  • L'ensemble N des entiers naturels n'est pas un anneau, car ce n'est pas un groupe quand on le munit de l'addition : l'existence des opposés fait défaut. C'est un semi-anneau.
  • L'ensemble 2ℤ des entiers (relatifs) pairs n'est pas un anneau, car sa multiplication n'a pas d'élément neutre[14]. C'est un pseudo-anneau.
  • L'ensemble des octonions n'est pas un anneau, car sa multiplication n'est pas associative[13]. On parle parfois d'anneau non associatif (en)[15].
  • Pour tout groupe non trivial (G, +), le groupe (GG, +) des applications de G dans G devient, lorsqu'on le munit de la composition ∘, un presque-anneau (en), mais pas un anneau même si G est commutatif, car la distributivité à gauche n'est pas vérifiée : on n'a pas f∘(g + h) = (f∘g) + (f∘h).

Et encore d'autres exemples

On trouvera davantage d'exemples aux sections idoines des articles consacrés à des classes particulières d'anneaux, et notamment les articles anneau commutatif, anneau intègre et algèbre associative sur un corps.

La section « Construction d'anneaux » ci-dessous fournit également une liste plus complète et systématisée d'exemples.

Concepts de base

Morphismes

Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux A et B qui est compatible avec leur structure, au sens précis suivant[16] :

Pour tous a, b dans A :

f(a + b) = f(a) + f(b)
f(a ∙ b) = f(a) ∙ f(b)

En particulier, si A et B sont unitaires, ce morphisme est dit unitaire si

f(1A) = 1B.

Les applications suivantes sont des exemples de morphismes d'anneaux :

  • La conjugaison de l'anneau des nombres complexes vers lui-même[17]. Ce morphisme est bijectif (on dit que c'est un automorphisme de ℂ) ;
  • Pour n entier strictement positif, la projection de ℤ sur l'anneau ℤ/nℤ ;
  • La fonction d'évaluation, qui associe à un polynôme P à coefficients réels sa valeur P(c) en un réel fixé c.

Les morphismes d'anneaux se composent entre eux, faisant de la classe des anneaux une catégorie.

Sous-anneaux

Une partie B d'un anneau A est appelée un sous-anneau de A lorsque[16] :

  • B est un sous-groupe additif de A
  • B est stable pour la multiplication
  • Le neutre multiplicatif de A appartient à B.

Voici quelques exemples de sous-anneaux :

  • L'anneau ℤ des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau ℝ des nombres réels ;
  • Les polynômes sans monôme du premier degré forment un sous-anneau de l'anneau de polynômes ℝ[X] ;
  • Les fonctions continues de ℝ vers ℝ forment un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions de ℝ vers ℝ.

Un morphisme d'anneaux injectif entre deux anneaux induit une identification entre son anneau de départ et un sous-anneau de son anneau d'arrivée[18].

Idéaux et anneaux-quotients

De façon duale quoiqu'un peu plus technique, la notion d'anneau quotient permet de décrire l'anneau d'arrivée d'un morphisme surjectif comme un quotient de l'anneau de départ. Sa définition repose sur la notion d'idéaux bilatères, qui sont les objets par lesquels on peut quotienter (ils sont en ce sens analogues aux sous-groupes distingués de la théorie des groupes)[19].

Un idéal bilatère I d'un anneau A (ou simplement « idéal » quand aucune confusion n'est à craindre, notamment dans le cas commutatif) est un sous-groupe additif de A vérifiant[14] :

pour tout x de I et tout a de A, ax ∈ I et xa ∈ I.

On définit un idéal à gauche (resp. à droite) comme un sous-groupe additif pour lequel on exige seulement la condition ax ∈ I (resp. xa ∈ I)[14]. Quoiqu'ils ne permettent pas la construction d'anneaux quotients, ce sont des concepts importants en théorie des anneaux non commutatifs.

Voici quelques exemples d'idéaux :

  • Dans tout anneau A, {0} et A sont deux idéaux bilatères de A[20].
  • Dans un anneau commutatif A, l'ensemble des multiples d'un élément donné b (c'est-à-dire des ab, a parcourant A) est un idéal de A, dit idéal principal engendré par b. Par exemple, l'ensemble des multiples de 5 est un idéal de l'anneau ℤ.
  • L'ensemble des polynômes à coefficients entiers dont le terme constant est pair est un idéal de l'anneau commutatif ℤ[X], qui n'est pas principal.
  • Dans l'anneau non commutatif des matrices carrées à coefficients réels, l'ensemble des matrices dont la première colonne est nulle est un idéal à gauche, l'ensemble des matrices dont la première ligne est nulle est un idéal à droite. Il n'y a pas d'idéaux bilatères hormis les deux idéaux triviaux du premier exemple.

Un idéal bilatère I permet de construire un anneau quotient : le groupe quotient commutatif A/I peut être muni d'une multiplication qui en fait un anneau, la projection canonique de A sur A/I étant alors un morphisme surjectif. Comme annoncé en introduction à la sous-section, l'image de tout morphisme surjectif d'anneaux est isomorphe à un quotient de son anneau de départ (le quotient par le noyau du morphisme)[21].

Calcul dans un anneau

Muni de sa seule multiplication, un anneau est un monoïde particulier. Les définitions qui font sens dans ce cadre plus large (voire dans un cadre encore plus général) peuvent donc être utilisées pour dénommer des propriétés d'éléments de l'anneau. Sont entre autres pertinents en théorie des anneaux les concepts suivants, qui concernent tous la deuxième loi (la multiplication) :

Dans tout anneau :

  • 0 est absorbant pour la multiplication ;
  • (–a) ∙ b = –(a ∙ b) (car (–a) ∙ b + (a ∙ b) = (–a + a) ∙ b = 0 ∙ b = 0) ;
  • a ∙ (–b) = –(a ∙ b) (de même) ;
  • en particulier, (–1) ∙ x = x ∙ (–1) = –x (donc (–1) ∙ (–x) = (–x) ∙ (–1) = –(–x) = x).

Dans un anneau, il est généralement impossible de simplifier dans une multiplication sans précautions. On sait par exemple que si des matrices carrées A, B et C vérifient l'identité AB = AC, on ne peut en déduire que B = C et ce même si A n'est pas la matrice nulle. Les deux concepts qui suivent permettent d'analyser ces défauts de simplification :

  • un élément non nul a de A est un diviseur de zéro à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément b de A non nul tel que ba = 0 (resp. ab = 0)[23]. On dit que c'est un diviseur de zéro si c'est un diviseur de zéro à droite ou un diviseur de zéro à gauche[24].
  • un élément a de A est dit nilpotent lorsqu'il existe un entier m ≥ 1 tel que am = 0. Le plus petit entier pour lequel cette identité est vérifiée est appelé l'ordre de nilpotence de a. Tout élément nilpotent non nul est un diviseur de zéro.

Exemples : 2 est nilpotent dans tous les anneaux ℤ/2nℤ où n ≥ 2.

La formule du binôme de Newton est applicable à tout couple d'éléments permutables[25]. Pour tous x, y permutables et tout entier n positif ou nul :

Elle se généralise à toute famille finie d'éléments permutables deux à deux : c'est la formule du multinôme.

Caractéristique

La caractéristique d'un anneau est, s'il existe, le plus petit entier strictement positif n tel que :

Si un tel entier n'existe pas (autrement dit si 1 est d'ordre additif infini) on dit que la caractéristique est nulle[26].

Modules

Le formalisme des espaces vectoriels, où des scalaires, éléments d'un corps, multiplient des vecteurs, peut être étendu à des scalaires éléments d'un anneau. On appelle modules les structures ainsi définies.

L'étude des modules est une fin en soi, et a de multiples retombées qui ne sont pas l'objet du présent article. L'une d'entre elles a néanmoins sa place ici : un anneau peut être considéré comme un module sur lui-même, ce qui permet le réinvestissement en théorie des anneaux de techniques propres aux modules.

Plus précisément, étant donné un anneau A dont on note x la multiplication, on conserve sa loi de groupe additif, et on le munit d'une loi externe notée ∙ en posant, pour α scalaire dans A et a vecteur dans A :

α∙a = α x a.

L'addition et cette loi externe munissent alors A d'une structure de module à gauche sur A. De la même façon, la loi externe définie par : a∙α = a x α le munirait d'une structure de module à droite.

Cette structure fournit un nouvel éclairage sur A. On constate par exemple que les idéaux à gauche (resp. droite) sont exactement les sous-modules pour la structure de module à gauche (resp. droite) et, dans le cas commutatif, que les idéaux sont exactement les sous-modules[27].

Algèbres associatives unitaires

On appelle algèbre associative unitaire sur un anneau commutatif R un anneau A qui est en outre muni d'une loi externe de module ayant R pour anneau de scalaires, compatible avec la loi interne de multiplication au sens suivant : pour tout scalaire α dans R et tous éléments a, b de A :

α(ab) = (αa)b = a(αb).

Les algèbres associatives unitaires forment donc une vaste classe d'anneaux et en fournissent des collections très variées d'exemples importants. Par ailleurs tout anneau peut être considéré comme une algèbre sur ℤ de la même façon que tout groupe abélien peut être considéré comme un ℤ-module, et tout anneau commutatif peut être considéré comme une algèbre sur lui-même (la commutativité est indispensable ici)[28]. Les outils propres à la théorie des algèbres associatives sont donc disponibles pour construire et étudier des anneaux.

Anneaux commutatifs

La très riche théorie spécifique aux anneaux commutatifs est appelée algèbre commutative. On se réfèrera à l'article détaillé anneau commutatif, prolongé par l'article anneau intègre, pour un panorama des concepts qui sont propres à cette classe d'anneaux : anneaux principaux, anneaux factoriels, élément entier, etc.

Construction d'anneaux

Deux des concepts les plus fondamentaux pour produire des exemples d'anneaux ont déjà été évoqués plus haut :

Ces deux procédés nécessitent de disposer préalablement d'un anneau. Pour initialiser les constructions, les techniques suivantes sont particulièrement importantes :

  • Étant donné un groupe abélien E, l'ensemble Endℤ(E) des endomorphismes de groupe de E muni de l'addition des fonctions et de la composition est un anneau. En appliquant cette construction à E = ℤ2, on obtient un premier exemple non commutatif, isomorphe à l'anneau des matrices (2, 2) à coefficients entiers.
    • Si E est muni d'une structure plus riche que celle de groupe abélien, notamment de module sur un anneau plus étoffé que celui des entiers relatifs, voire d'espace vectoriel, les endomorphismes de groupe respectant la structure additionnelle peuvent constituer un sous-anneau de celui fourni à l'exemple précédent. Par exemple, si E = ℝ2 vu comme espace vectoriel sur ℝ, l'ensemble de ses endomorphismes d'espace vectoriel Endℝ(ℝ2) est un anneau, sous-anneau du gigantesque anneau Endℤ(ℝ2) de ses endomorphismes de groupe. Il est isomorphe à l'anneau des matrices (2, 2) à coefficients réels.
    • En fait, tout anneau A est sous-anneau d'un tel anneau de morphismes de ℤ-module, à savoir Endℤ(A). Si l'on définit la : A → A par la(x) = ax, on constate que la est un endomorphisme pour la structure de groupe abélien, puis que a ↦ la est un morphisme d'anneaux injectif de A dans Endℤ(A).
  • Étant donné un anneau A, on sait construire un anneau de polynômes à coefficients dans A, noté A[X].

Un autre outil fondamental, à partir d'anneaux déjà connus, est le produit direct :

  • Étant donnée une famille d'anneaux Ai, on construit un produit de ces anneaux (dont l'ensemble sous-jacent est le produit cartésien des ensembles Ai).
    • Un cas remarquable est celui où tous les Ai sont un même anneau A. L'ensemble sous-jacent à leur produit est alors l'ensemble AI des applications de I vers A, muni de l'addition et de la multiplication usuels des applications.
    • Lorsque les Ai constituent un système projectif, on construit comme sous-anneau de leur produit un anneau limite projective du système. Cette procédure permet de construire les anneaux de séries formelles sur un anneau commutatif ou l'anneau ℤp des entiers p-adiques.

Certaines techniques sont du domaine de l'algèbre commutative :

  • La localisation consiste, étant donné un anneau intègre, à ajouter des éléments de sorte à rendre possible la division par certains des éléments de l'anneau (le concept existe aussi pour des anneaux commutatifs quelconques, mais est un peu plus technique). Lorsqu'on autorise tous les dénominateurs (sauf 0), on construit le corps des fractions de l'anneau intègre, ainsi le corps ℚ des nombres rationnels à partir de l'anneau des entiers ; lorsqu'on autorise les seuls dénominateurs n'appartenant pas à un idéal maximal donné, on construit un anneau local, construction particulièrement fréquente en géométrie algébrique.
  • La complétion (en) d'un anneau topologique fournit le corps des nombres réels à partir de celui des nombres rationnels. Les exemples de limite projective donnés plus haut (séries formelles, entiers p-adiques) peuvent aussi être rattachés à ce mode de construction.

Le point de vue des algèbres associatives unitaires fournit un dernier outil :

  • Le produit tensoriel peut être utilisé de diverses façons pour construire de nouveaux anneaux. En premier lieu, étant donné un anneau commutatif R et un R-module V, l'algèbre tensorielle de V est une algèbre associative unitaire remarquable, donc un anneau remarquable. En second lieu, le produit tensoriel d'algèbres permet de « multiplier » entre eux deux anneaux d'une façon très différente de la construction du produit direct donnée plus haut.

Bibliographie

Pour une introduction à la théorie des anneaux
  • (en) David M. Burton, A First Course in Rings and Ideals, Addison Wesley,
    Tout en restant accessible à un débutant, ne néglige pas les anneaux non commutatifs. Prendre garde que dans cet ouvrage ring est employé pour désigner un pseudo-anneau.
  • Jean Fresnel, Anneaux, Paris, Hermann, , 359 p. (ISBN 978-2-7056-1447-8, BNF 37692694)
    Traite de façon prépondérante des anneaux commutatifs.

Les cours d'algèbre générale contiennent inévitablement un ou plusieurs chapitres consacrés aux anneaux. Sans chercher l'exhaustivité, on citera :

Pour aller un peu plus loin

Notes et références
  1. Voir par exemple : Bourbaki 1970, p. I-12, I.92 et I.93, définit bien le qualificatif « unifère » mais pour les magmas. Sa définition d'anneau suppose un élément neutre pour la multiplication. En l'absence de cette seule propriété, il parle de « pseudo-anneau ».
  2. Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions], vol. 1, p. 111-112, 201-203, et (de) D. Hilbert, « Die Theorie der algebraischen Zahlkörper », Jahresbericht der DMV, vol. 4, 1897, p. 175-546, § 31.
  3. MacLane et Birkhoff 1967, p. 135 ; Bourbaki 1970, p. I-92 ; Lang 2004, p. 90-91.
  4. La condition de commutativité de l'addition est traditionnellement exigée dans la définition d'un anneau, mais elle découle de la conjonction des autres et est donc superflue : en effet, si l'on développe de deux façons différentes (1 + 1)∙(a + b) = 1∙(a + b) + 1∙(a + b) = a + b + a + b mais aussi (1 + 1)∙(a + b) = (1 + 1)∙a + (1 + 1)∙b = a + a + b + b puis qu'on simplifie à gauche et à droite, la commutativité de l'addition apparaît, cf. Grillet 2007, p. 107.
  5. La majorité des sources ne formalise pas outre mesure ce point. Le « dans lequel sont données » utilisé dans l'article est une citation de A.G. Kurosh (trad. J.-P. Peaudecerf), Algèbre générale, Dunod, , p. 24 ; d'autres auteurs écrivent « muni de » (Bourbaki 1970, p. I-92) ou simplement « avec » (Cohn 1974, p. 136). Une minorité de sources formalise davantage, de façon variable. Selon l'ouvrage consulté, un anneau peut être défini comme un triplet (A, +, ∙), ainsi Godement 1966, p. 137 ou Grillet 2007, p. 105, ou un quadruplet (A, +, ∙, 1), cf. MacLane 1967, p. 135, voire un quintuplet (A, +, ∙, 0, 1), ainsi dans (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman and company, (ISBN 978-0-7167-0453-9), p. 84 et même un sextuplet (A, +, ∙, -, 0, 1) dans (en) Stanley Burris et H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, New York, Springer, , 276 p. (ISBN 978-0-387-90578-5, BNF 37371612), p. 24.
  6. Maurice Glaymann, « L'algèbre », dans Les mathématiques, Retz, coll. « Les encyclopédies du savoir moderne », (ISBN 978-2-72566025-7, lire en ligne), p. 47.
  7. Ainsi (en) Neal H. McCoy, The Theory of Rings, The MacMillan Company, (ISBN 978-1-124-04555-9), (Burton 1970, p. ?) et Joseph Gallian, Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin, (ISBN 978-0-618-51471-7) ou, en langue française, Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques - Tome 1, Algèbre, Dunod, , p. 79.
  8. MacLane et Birkhoff 1967, p. 135 sous le nom d'« anneau trivial » ; Bourbaki 1970, p. I-96 sous le nom d'« anneau nul ».
  9. MacLane et Birkhoff 1967, p. 135.
  10. MacLane et Birkhoff 1967, p. 152-153.
  11. MacLane et Birkhoff 1967, p. 162.
  12. MacLane et Birkhoff 1967, p. 226 (où l'énoncé est donné pour des modules, donc s'applique en particulier aux groupes abéliens).
  13. MacLane et Birkhoff 1967, p. 294-296.
  14. Bourbaki 1970, p. I-98.
  15. Raymond Raffin, Anneaux non-associatifs, exposé au séminaire Dubreil (1950-1951) disponible en ligne.
  16. Bourbaki 1970, p. I.97.
  17. Godement 1966, p. 155.
  18. Cohn 1974, p. 137-138.
  19. Cette analogie est soulignée par exemple dans (en) László Rédei, Algebra, vol. 1, Pergamon Press, , p. 129.
  20. Bourbaki 1970, p. I.99.
  21. Bourbaki 1970, p. I.100 - I.101.
  22. On peut remarquer qu'en posant cette condition, on décide en particulier de fixer la convention pas forcément naturelle selon laquelle 00 = 1. La remarque figure dans Rédei 1967, p. 47.
  23. Bourbaki 1970, p. I.93.
  24. Lang 2004, p. 99.
  25. Godement 1966, p. 144-146.
  26. Lang 2004, p. 97.
  27. Lang 2004, p. 127.
  28. Bourbaki 1970, p. III-2.
  29. Godement 1966, p. 139-140, exemple 4.
  30. Godement 1966, p. 628, exercice 41.

Voir aussi
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