Corps des fractions

K(A) est alors un corps commutatif, c'est-à-dire qu'il possède les propriétés suivantes (on fixe un élément non nul quelconque x de A) :

• simplification de fraction : pour tout c non nul, ${\displaystyle {\frac {ca}{cb}}={\frac {a}{b}}}$ ;
• commutativité et associativité des lois induites ;
• existence d'un neutre ${\displaystyle {\frac {0}{x}}}$ pour la première loi

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {0}{x}}={\frac {ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$

• existence d'une unité ${\displaystyle {\frac {x}{x}}}$ neutre pour la seconde ;

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {x}{x}}={\frac {ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$

• existence d'un opposé ${\displaystyle {\frac {-a}{b}}}$ pour tout élément ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ;

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {0}{b}}}$

• existence d'un inverse ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ pour tout élément non nul ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ;

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}}$

• distributivité de la multiplication sur l'addition :

${\displaystyle {\frac {a}{b}}{\frac {e}{f}}+{\frac {c}{d}}{\frac {e}{f}}={\frac {aedf+cebf}{bfdf}}={\frac {(ad+cb)e}{bdf}}=\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right){\frac {e}{f}}}$

Si l'anneau A est unitaire, l'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a, associe ${\displaystyle {\frac {a}{1}}}$ est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions.

Si l'anneau A n'est pas unitaire, on choisit un élément e non nul de A. L'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a associe ${\displaystyle {\frac {ae}{e}}}$ est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions. Cette application ne dépend pas de l'élément e non nul choisi.

Pour tout corps L et tout morphisme injectif d'anneaux ${\displaystyle f\,}$de A dans L, il existe un unique morphisme de corps ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ de K(A) dans L tel que ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ i}$

La seule façon de créer ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ est de définir ${\displaystyle {\tilde {f}}\left({\frac {a}{b}}\right)}$ par ${\displaystyle {\tilde {f}}\left({\frac {ae}{e}}\right).\left({\tilde {f}}\left({\frac {be}{e}}\right)\right)^{-1}={\frac {f(a)}{f(b)}}}$, où e est un élément non nul fixé de A. Il suffit ensuite de prouver que cette construction est indépendante du représentant choisi et que ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ est bien un morphisme injectif.

D'après la propriété universelle, K(A) est le plus petit corps contenant A, au sens suivant : si L est un autre corps contenant A, il existe un morphisme injectif de A dans L donc un morphisme injectif de K(A) dans L.