Formule du multinôme de Newton

En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière $n$ d'une somme d'un nombre fini $m$ de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients, lesquels sont appelés des coefficients multinomiaux. La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour $m =2$ ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.

Énoncé

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels et $x 1, x 2,..., x m$ des nombres réels ou complexes (ou plus généralement, des éléments d'un anneau commutatif, voire seulement d'un anneau, à condition que ces $m$ éléments commutent deux à deux). Alors,

(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}+\ldots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}}\dots x_{m}^{k_{m}}

.

La somme porte sur toutes les combinaisons d'indices entiers naturels $k 1, k 2,..., k m$ tels que $k 1 + k 2 + ... + k m = n$ , certains d'entre eux pouvant être nuls.

Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices ${\vec {k}}$ de dimension $m$ dont le module $\left|{\vec {k}}\right|=\sum \nolimits _{i=1}^{m}k_{i}$ est égal à $n$ :

\left(\sum _{i=1}^{m}x_{i}\right)^{n}=\sum _{\left|{\vec {k}}\right|=n}{n \choose {\vec {k}}}\prod _{i=1}^{m}x_{i}^{k_{i}}

Les nombres

{n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\ldots ,k_{m}}={n \choose {\vec {k}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\dots k_{m}!}}={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{m}k_{i}!}}

sont appelés les coefficients multinomiaux.

Le coefficient multinomial ${n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\ldots ,k_{m}}$ est également le nombre de « partitions ordonnées » d'un ensemble de $n$ éléments en $m$ ensembles de cardinaux respectifs $k 1, k 2,..., k m$ . Plus formellement :

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=\operatorname {Card} \left\{I\in {\mathcal {P}}(\{1,\ldots ,n\})^{m}|\forall i,j\quad \operatorname {Card} (I_{i})=k_{i}~{\text{et}}~(i\neq j\Rightarrow I_{i}\cap I_{j}=\emptyset )\right\}.$

Et plus concrètement, ${n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\ldots ,k_{m}}$ est le nombre de mots de longueur $n$ formés avec un alphabet de $m$ caractères, le premier caractère étant répété $k 1$ fois, le deuxième, $k 2$ fois, ..., le $m$ -ième, $k m$ fois. Par exemple, le nombre d'anagrammes du mot Mississipi vaut ${10 \choose 4,4,1,1}=6300$ .

Démonstrations

Une preuve directe est d'utiliser l'avant-dernière expression ci-dessus des coefficients multinomiaux[1].

Une autre est de raisonner par récurrence sur $m$ , en utilisant la formule du binôme[2].

Enfin, on peut utiliser le développement en série entière (ou simplement formelle) de l'exponentielle[3].

Exemple

${\begin{aligned}(a+b+c)^{3}&=(a^{3}b^{0}c^{0}+a^{0}b^{3}c^{0}+a^{0}b^{0}c^{3})+3(a^{2}b^{1}c^{0}+a^{1}b^{2}c^{0}+a^{0}b^{1}c^{2}+a^{0}b^{2}c^{1}+a^{1}b^{0}c^{2}+a^{2}b^{0}c^{1})+6a^{1}b^{1}c^{1}\\&=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+bc^{2}+b^{2}c+ac^{2}+a^{2}c)+6abc.\end{aligned}}$

Notes et références

Cette preuve combinatoire est disponible par exemple dans Louis Comtet, Analyse combinatoire avancée, Techniques de l'ingénieur (lire en ligne), p. 3 et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.
Cette preuve par récurrence est disponible par exemple sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.
Cette preuve « analytique » est disponible par exemple dans Comtet, p. 3 et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(en) Paul Erdős et Ivan Niven, « The number of multinomial coefficients », Amer. Math. Monthly, vol. 61,‎ 1954, p. 37-39 (lire en ligne)

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[1] Cette preuve combinatoire est disponible par exemple dans Louis Comtet, Analyse combinatoire avancée, Techniques de l'ingénieur (lire en ligne), p. 3 et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.

[2] Cette preuve par récurrence est disponible par exemple sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.

[3] Cette preuve « analytique » est disponible par exemple dans Comtet, p. 3 et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.