Anneau de Schreier

En algèbre (une branche des mathématiques), un anneau de Schreier est un anneau intégralement clos et « pré-Schreier », un anneau intègre étant dit pré-Schreier si dans cet anneau, tout élément x est primal, c.-à-d. que pour tout produit yz mutiple de x, x est produit d'un diviseur de y par un diviseur de z.

Le terme « anneau de Schreier » — du nom d'Otto Schreier — a été introduit par Paul Cohn dans les années 60[1]. Le terme « anneau pré-Schreier » est dû à Muhammad Zafrullah[2].

Définition équivalente

Un anneau A est pré-Schreier si et seulement si il vérifie la propriété d'interpolation de Riesz suivante pour tous ou, ce qui est équivalent, pour [3],[4],[5] :

Pour tous tels que chaque divise chaque , il existe dans un élément qui est à la fois multiple de tous les et diviseur de tous les .

Propriétés

La propriété de Schreier est intermédiaire entre celle d'être un anneau à PGCD et celle de vérifier le lemme de Gauss :

  • tout anneau intègre à PGCD est un anneau de Schreier et la réciproque est fausse[6] ;
  • tout anneau pré-Schreier vérifie le lemme de Gauss[7] et la réciproque est fausse[8].

A fortiori, un anneau pré-Schreier vérifie le lemme d'Euclide : un élément est premier si (et seulement si) il est irréductible (on peut le voir plus directement en remarquant que dans un anneau intègre, tout élément irréductible et primal est premier). En particulier, un anneau est factoriel si (et seulement si) il est pré-Schreier et atomique[9],[10].

On peut affiner l'implication ci-dessus « pré-Schreier ⇒ Gauss » en intercalant la propriété « PSP » : tout polynôme Primitif est SuperPrimitif, c'est-à-dire que l'inverse de idéal de type fini engendré par ses coefficients est réduit à l'anneau. (L'implication « pré-Schreier ⇒ PSP » se démontre par interpolation de Riesz[11] — elle est stricte[12] — et Gauss équivaut à « PSP2 », la propriété PSP restreinte aux polynômes de degré 1[13].)

En résumé : à PGCD ⇒ Schreier ⇒ pré-Schreier ⇒ PSP ⇒ Gauss ⇒ Euclide.

Par ailleurs, si A est un anneau de Schreier, alors l'anneau de polynômes A[X] en est un aussi[14].

Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schreier domain » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) P. M. Cohn, « Bezout rings and their subrings », Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 64,‎ , p. 251-264 (lire en ligne).
  2. (en) M. Zafrullah, « On a property of pre-Schreier domains », Comm. Algebra, vol. 15, no 9,‎ , p. 1895-1920 (lire en ligne).
  3. Cohn 1968, p. 255-256.
  4. (en) László Fuchs (en), « Riesz groups », Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, 3e série, vol. 19, no 1,‎ , p. 1-34 (lire en ligne).
  5. Zafrullah 1987, Th. 1.1.
  6. Cohn 1968, p. 256.
  7. (en) Daniel D. Anderson et Muhammad Zafrullah, « The Schreier Property and Gauss' Lemma », Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, vol. 10-B, no 1,‎ , p. 43-62 (lire en ligne), proposition 3.3 + (en) D. D. Anderson et R. O. Quintero, « Some Generalizations of GCD-Domains », dans D. D. Anderson, Factorization in Integral Domains, Marcel Dekker, (lire en ligne), p. 189-195, définition 2.12 et lemme 2.13.
  8. Anderson et Zafrullah 2007, exemple 2.11 rappelé p. 54 : l'anneau ℤ(2)+X ℝ[[X]] vérifie le lemme de Gauss (car dans cet anneau, les non multiples de 2 sont inversibles) mais n'est pas pré-Schreier (car X n'est pas le produit d'un diviseur de X√2 par un diviseur de X/√2).
  9. Cohn 1968, th. 2.3.
  10. Zafrullah 1987, cor. 1.7 et 1.8.
  11. (en) Muhammad Zafrullah, « Well behaved prime t-ideals », J. Pure Appl. Algebra, vol. 65, no 2,‎ , p. 199-207 (DOI 10.1016/0022-4049(90)90119-3), preuve du lemme 2.1.
  12. L'exemple non pré-Schreier ℤ(2)+X ℝ[[X]] déjà mentionné vérifie PSP, d'après (en) D. D. Anderson, « Integral v-ideals », Glasgow Math. J., vol. 22,‎ , p. 167-172 (lire en ligne), lemme 2.1(3) et propositions 2.3(2) et 3.1.
  13. Anderson et Quintero 1997, début du lemme 2.13 et 7 ⇒ 4 du th. 3.4.
  14. Cohn 1968, th. 2.7.
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