Lemme de Gauss (polynômes)

On peut même remplacer, comme dans la version moderne, l'anneau des entiers par n'importe quel anneau intègre A à PGCD, et le corps des rationnels par le corps K des fractions de A.

Il s'agit de prouver que pour tous polynômes unitaires ${\displaystyle P,Q\in K[X]}$, si ${\displaystyle PQ\in A[X]}$ alors ${\displaystyle P,Q\in A[X]}$.

Par hypothèse, ${\displaystyle c(P)={\frac {1}{a}}}$ et ${\displaystyle c(Q)={\frac {1}{b}}}$ avec ${\displaystyle a,b\in A}$, et ${\displaystyle {\frac {1}{ab}}=c(PQ)\in A}$, donc ${\displaystyle a,b}$ sont des inversibles de A, ce qui prouve que ${\displaystyle P,Q\in A[X]}$.

Soient A un anneau intègre à PGCD et ${\displaystyle P=\sum _{i=1}^{m}p_{i}X^{i},Q=\sum _{j=1}^{n}q_{j}X^{j}\in A[X]}$ deux polynômes primitifs. Soit ${\displaystyle d\in A}$ tel que ${\displaystyle PQ\in dA[X]}$. Alors, chaque ${\displaystyle p_{i}q_{j}/d}$ est entier sur A donc appartient à A (car A est intégralement clos), si bien que d divise ${\displaystyle \operatorname {PGCD} (\{p_{i}q_{j}\mid 0\leq i\leq m,0\leq j\leq n\})=\operatorname {PGCD} (p_{0},\dots ,p_{m})\times \operatorname {PGCD} (q_{0},\dots ,q_{n})=1}$. Ainsi, tout diviseur commun aux coefficients de PQ est inversible, c'est-à-dire que PQ est primitif.

• Le contenu de P existe et est unique à produit près par un élément inversible de A :
  • Existence. Les coefficients de P sont des fractions d'éléments de A. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun b (par exemple le produit de leurs dénominateurs respectifs), P s'écrit R/b avec b élément non nul de A et R polynôme à coefficients dans A. En mettant en facteur le pgcd d des coefficients de R, on obtient P = dS/b avec S primitif, donc d/b est un contenu pour P.
  • Unicité. Si ${\displaystyle {\frac {d}{b}}S={\frac {d'}{b'}}T}$ avec ${\displaystyle d,d'\in A,b,b'\in A^{*},S=\sum s_{i}X^{i},T=\sum t_{i}X^{i}\in A[X]}$ et ${\displaystyle S,T}$ primitifs alors ${\displaystyle b'dS=bd'T}$ donc à produit près par un inversible de A, ${\displaystyle b'd=\operatorname {pgcd} (b'ds_{i})=\operatorname {pgcd} (bd't_{i})=bd'}$.
• Le contenu de P appartient à A si et seulement si P est à coefficients A :
  Le « seulement si » est immédiat. Réciproquement, si P est à coefficients dans A, alors (d'après la preuve d'existence précédente) cont(P) est le pgcd de ces éléments de A.

Raisonnons par l'absurde, en supposant que (pour un certain anneau A vérifiant PP) il existe deux polynômes primitifs ${\displaystyle P=\sum a_{i}X^{i},Q=\sum b_{j}X^{j}\in A[X]}$ dont le produit PQ est divisible par un élément non inversible de A. Choisissons alors un couple ${\displaystyle (i,j)}$ de somme maximum, parmi les couples d'indices tels qu'un certain diviseur non inversible d de PQ divise aussi ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{i-1},b_{0},\dots ,b_{j-1}}$. Par maximalité, d est premier avec ${\displaystyle a_{i}}$ et ${\displaystyle b_{j}}$ donc avec leur produit, si bien qu'il ne divise pas ${\displaystyle a_{i}b_{j}}$. Mais ceci est absurde, puisqu'il divise tous les autres termes de la somme ${\displaystyle \sum _{i'+j'=i+j}a_{i'}b_{j'}}$ et qu'il divise cette somme.

Soit P un polynôme non constant à coefficients dans A.

• Supposons P premier dans A[X]. Alors il est irréductible dans A[X] donc :
  • P est primitif ;
  • de plus, si P = BC avec B et C dans K[X] alors, d'après le lemme de Gauss, P = QR avec Q = B/c(B) et R = C/c(C) dans A[X], si bien que Q ou R est inversible dans A[X] donc B ou C est inversible dans K[X].
• Réciproquement, supposons P primitif et irréductible dans K[X] et montrons qu'il est premier dans A[X].

  Supposons que P divise QR dans A[X]. Comme P divise QR dans K[X], il divise (par exemple) Q dans K[X]. Le polynôme S := Q/P vérifie alors c(S) = c(Q)/c(P) = c(Q) ∈ A donc S ∈ A[X], donc P divise Q dans A[X].

Soit maintenant p un élément de A. Si p est premier dans A[X], il est clairement premier dans A. Réciproquement, s'il est premier dans A et s'il divise QR dans A[X], alors il divise c(QR) = c(Q)c(R) donc il divise (par exemple) c(Q) dans A, donc p divise Q dans A[X].