Anneau nul

En mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton ${\displaystyle \{0_{A}\}}$. On a :

${\displaystyle 0_{A}+0_{A}=0_{A}\qquad 0_{A}\times 0_{A}=0_{A}}$.

Ne doit pas être confondu avec Pseudo-anneau de carré nul.

Cet anneau est commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement 1_A dans un anneau quelconque, est ici égal à 0_A, l'élément neutre pour l'addition.

Réciproquement, le seul anneau A vérifiant 1_A = 0_A est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément ${\displaystyle r}$ de A, on a :

${\displaystyle r=r\times 1_{A}=r\times 0_{A}=0_{A}}$.

L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e. tout anneau admet un unique morphisme d'anneaux dans l'anneau nul), l'objet initial étant l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ des entiers.