Composition de fonctions

Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions ${\displaystyle f:X\to Y}$ et ${\displaystyle g:Y\to Z}$. On définit la composée de f par g, notée ${\displaystyle g\circ f}$, par

${\displaystyle \forall x\in X,\ (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$

On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat.

On obtient ainsi une nouvelle fonction ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$.

La notation ${\displaystyle g\circ f}$ se lit « g rond f », « f suivie de g » ou encore « g après f ». On note parfois ${\displaystyle g\circ f(x)}$ pour ${\displaystyle (g\circ f)(x)}$.

Cette définition peut être visualisée par un diagramme commutatif.

Ici, on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées.

• La composition de fonctions n'est généralement pas commutative :${\displaystyle g\circ f\neq f\circ g.}$
• La composition de fonctions est associative :${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.}$
• La composition de fonctions n'est généralement pas distributive (sur un opérateur quelconque ${\displaystyle \star }$) :${\displaystyle h\circ (g\star f)\neq (h\circ g)\star (h\circ f).}$
• Si la fonction f est continue en x₀ et la fonction g est continue en f(x₀) alors ${\displaystyle g\circ f}$ est continue en x₀.
• Composition de deux fonctions f et g strictement monotones (le sens de variation obéit à une sorte de règle des signes) :
  • si f et g ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante ;
  • si f et g ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante.
• Dérivée d'une composition de fonctions dérivables :${\displaystyle (g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'.}$Voir l'article « Théorème de dérivation des fonctions composées ».
• Réciproque d'une composée :${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

On conserve les notations ci-dessus. Si ${\displaystyle Y=X}$ alors ${\displaystyle f}$ peut être composée avec elle-même et la composée est notée ${\displaystyle f^{2}}$. Ainsi

${\displaystyle f^{2}=f\circ f}$

${\displaystyle f^{3}=f\circ f\circ f}$

et de manière plus générale :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad f^{n}=\underbrace {f\circ \ldots \circ f} _{n\ \mathrm {fois} }}$.

On pose

${\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{X}}$

où ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ est l'application identité de l'ensemble ${\displaystyle X}$.

On peut étendre cette notation aux exposants entiers négatifs, à condition de supposer la fonction ${\displaystyle f}$ bijective (de ${\displaystyle X}$ dans lui-même). Alors, ${\displaystyle f^{-1}}$ désigne l'application réciproque et pour tout entier ${\displaystyle n>0}$, ${\displaystyle f^{-n}}$ est la composée de ${\displaystyle f^{-1}}$ par elle-même n fois.

La puissance d'une fonction est distincte de la multiplication des applications. Par exemple, sin² désigne couramment le carré de la fonction sinus :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \sin ^{2}(x)=(\sin(x))^{2}=\sin(x)\times \sin(x)}$.

Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

On peut également s'intéresser aux racines carrées fonctionnelles, c'est-à-dire que l'on cherche, pour une fonction g donnée, une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x. On note alors ${\displaystyle f=g^{1/2}}$.^{[réf. nécessaire]}

Au milieu du XX^e siècle, quelques mathématiciens^{[réf. nécessaire]} trouvèrent que la notation ${\displaystyle g\circ f}$ portait à confusion et décidèrent d'utiliser une notation post-fixée : xf pour f(x) et xfg pour ${\displaystyle (g\circ f)(x)}$.

Le caractère Unicode « rond », « ∘ », est le caractère U+2218. En LaTeX, ce caractère est obtenu par la commande \circ.