Approximation de Bernstein

En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue $f$ définie sur le segment [0, 1] par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cette preuve constructive du théorème d'approximation de Weierstrass est due à Sergeï Natanovitch Bernstein[1].

La suite des polynômes de Bernstein (en vert) converge vers la fonction f qu'elle doit approcher (ici,

x\mapsto x\sin(7/2\pi {\sqrt {x}})

, en rouge).

Définition

La $n$ -ième approximation de $f$ est le polynôme

P_{n}(f)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)B_{k}^{n},

où les $B_{k}^{n}$ sont les polynômes de Bernstein :

B_{k}^{n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}.

On construit donc $P n (f)$ à partir des valeurs de $f$ aux points 0, ¹⁄_n, …, ^{(n – 1)}⁄_n et 1 mais, en ces points, la valeur de $P n (f)$ peut être différente de celle de $f$ , autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.

La convergence uniforme de $P n (f)$ vers $f$ s'énonce donc de la façon suivante : $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\quad \forall n\geq N\quad \forall x\in [0,1]\qquad |f(x)-P_{n}(f)(x)|\leq \varepsilon .$

Il convient de noter que si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $(n, x)$ , alors $P n (f)(x)$ n'est rien d'autre que l'espérance de $f (X / n)$ , c'est-à-dire la moyenne de $f$ appliquée au nombre de succès de $n$ expériences indépendantes de probabilité $x$ . La convergence simple de $P n (f)$ vers $f$ est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre ^X⁄_n et $x$ , on en déduit la convergence uniforme.

Démonstration

Les opérateurs linéaires $P n$ sur C([0, 1]) étant positifs (en), il suffit, d'après le théorème d'approximation de Korovkin, de vérifier la convergence pour les trois fonctions monomiales f₀(x) = 1, f₁(x) = x et f₂(x) = x².

Or $P n (f 0) = f 0$ , $P n (f 1) = f 1$ et $P n (f 2) = f 2 + (f 1 - f 2)/ n$ , ce qui conclut[2].

Vitesse de convergence

Soit $f$ une fonction continue sur $[0;1]$ , et $ω$ le module de continuité de $f$ . Alors on a l'inégalité[3] :

\|f-P_{n}(f)\|_{\infty }\leq {\frac {9}{4}}\;\omega \left(n^{-1/2}\right)

Où $\|\cdot \|_{\infty }$ représente la norme « infini ».

Démonstration

Soit $δ > 0$ et $x \in [0;1]$ . Soit $k \in {0,..., n}$ . Il y a deux cas possibles pour $k$ :

Si $|x-k/n|\leq \delta$ .

Dans ce cas, $|f(x)-f(k/n)|\leq \omega (\delta )$ . Vu que $B n k (y) \geq 0$ pour tout $y \in [0;1]$ , on a :

\left|\sum _{k=0,|x-k/n|\leq \delta }^{n}(f(x)-f(k/n))B_{k}^{n}(x)\right|\leq \omega (\delta )\sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(x)=\omega (\delta )

Si $|x-k/n|\geq \delta$ .

Soit $M=\left\lfloor {\frac {|x-k/n|}{\delta }}\right\rfloor$ . On pose $y j = x + j / M +1$ pour $j \in {0,..., M +1}$ . On remarque alors que pour $j \in {0,..., M}$ , on a $| y j +1 - y j | < δ$ . Ainsi :

|f(x)-f(k/n)|\leq \sum _{j=0}^{M+1}|f(y_{j+1})-f(y_{j})|\leq (M+1)\omega (\delta )\leq \omega (\delta )\left(1+{\frac {1}{\delta }}\left|x-{\frac {k}{n}}\right|\right)\leq \omega (\delta )\left(1+{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right)

Ainsi, pour tout $x \in [0;1]$ , on peut écrire :

{\begin{aligned}|f(x)-P_{n}(f)(x)|&\leq \left|\sum _{k=0,|x-k/n|\leq \delta }^{n}(f(x)-f(k/n))B_{k}^{n}(x)\right|+\left|\sum _{k=0,|x-k/n|\geq \delta }^{n}(f(x)-f(k/n))B_{k}^{n}(x)\right|\\\quad &\leq \omega (\delta )+\left|\sum _{k=0,|x-k/n|\geq \delta }^{n}\omega (\delta )\left(1+{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right)B_{k}^{n}(x)\right|\leq \omega (\delta )\left(2+{\frac {1}{\delta ^{2}}}\sum _{k=0,|x-k/n|\geq \delta }^{n}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{2}B_{k}^{n}(x)\right)\\\quad &\leq \omega (\delta )\left(2+{\frac {x(1-x)}{n\delta ^{2}}}\right)\leq \omega (\delta )\left(2+{\frac {1}{4n\delta ^{2}}}\right)\end{aligned}}

Finalement, choisir $δ = 1/ \sqrt n$ permet de conclure.

Ce résultat permet d'assurer une certaine vitesse de convergence de la suite de polynômes de Bernstein vers la fonction $f$ , en fonction du module de continuité de $f$ .

Référence

« Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912.
(en) Francesco Altomare, « Korovkin-type Theorems and Approximation by Positive Linear Operators », Surveys in Approximation Theory, vol. 5,‎ 2010, p. 92-164 (arXiv 1009.2601), Theorem 3.6.
(en) Michelle Schatzman, Numerical analysis: a mathematical introduction, Oxford University Press, 2002, Theorem 5.3.2

Articles connexes

Théorème de Bernstein (théorie de l'approximation) (en)
Inégalité de Jackson (en)

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[1] « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912.

[2] (en) Francesco Altomare, « Korovkin-type Theorems and Approximation by Positive Linear Operators », Surveys in Approximation Theory, vol. 5,‎ 2010, p. 92-164 (arXiv 1009.2601), Theorem 3.6.

[3] (en) Michelle Schatzman, Numerical analysis: a mathematical introduction, Oxford University Press, 2002, Theorem 5.3.2