Arbre d'Aronszajn

En théorie des ensembles, un arbre est un ensemble T partiellement ordonné tel que, pour tout x, l'ensemble des minorants de x, ${\displaystyle \scriptstyle M_{x}=\{y\in T|y\leq x\}}$, est bien ordonné, et ayant un plus petit élément (la racine de l'arbre)[1]. On appelle hauteur d'un élément x l'ordinal de l'ensemble M_x et hauteur de l'arbre la borne supérieure des hauteurs de ses éléments. On dit qu'un ensemble S ⊂ T est une branche de T si c'est un sous-ensemble de T totalement ordonné (et donc bien ordonné) maximal pour l'inclusion ; la hauteur d'une branche est son ordinal. Enfin, on appelle niveau de T (de hauteur α) l'ensemble des éléments de T de hauteur α.

Si κ est un cardinal, un κ-arbre d'Aronszajn est un arbre de hauteur κ dont aucune branche n'est de hauteur κ, et tel que tous les niveaux de T (de hauteur α < κ) soient également de cardinal < κ ; les arbres d'Aronszajn sont les ℵ₁-arbres d'Aronszajn, ce qui équivaut à des arbres non dénombrables dont toutes les branches sont dénombrables, et dont chaque élément a au plus un nombre dénombrable de successeurs.

On dit qu'un cardinal κ pour lequel il n'existe pas de κ-arbre d'Aronszajn possède la propriété de l'arbre (on demande parfois de plus que κ soit régulier et non dénombrable) ; les arbres ayant un tel cardinal satisfont à un analogue convenable du lemme de König.

Le lemme de König dit qu'il n'existe pas de ℵ₀-arbre d'Aronszajn.

Des ℵ₁-arbres d'Aronszajn furent construits en 1934 par Nachman Aronszajn[2]^,[3], ce qui montre que l'analogue du lemme de König ne s'applique pas aux arbres non dénombrables.

L'existence de ℵ₂-arbres d'Aronszajn est indécidable: l'hypothèse du continu implique l'existence d'un ℵ₂-arbre d'Aronszajn, mais Mitchell et Silver ont montré, en admettant l'existence d'un cardinal faiblement compact (en), qu'il est consistant de supposer qu'aucun ℵ₂-arbre d'Aronszajn n'existe.

Ronald Jensen a montré que l'axiome de constructibilité implique l'existence d'un κ-arbre d'Aronszajn pour tout cardinal κ infini et non limite.

En 1998, Cummings et Foreman ont montré (en utilisant un axiome de grand cardinal) qu'il est consistant qu'il n'existe aucun ℵ_n-arbre d'Aronszajn pour tout n fini autre que 1.

Si κ est faiblement compact, il n'existe pas de κ-arbre d'Aronszajn. Réciproquement, si κ est inaccessible et qu'il n'existe pas de κ-arbre d'Aronszajn, κ est faiblement compact.

On dit qu'un arbre d'Aronszajn T est spécial s'il existe une fonction f de T vers les rationnels strictement croissante, c'est-à-dire que x<y implique f(x)<f(y). L'axiome de Martin MA(ℵ₁) entraîne que tous les arbres d'Aronszajn sont spéciaux. L'axiome de forcing propre (en) (qui est plus fort que l'axiome de Martin) entraîne un résultat plus fort, assurant qu'en un certain sens, tous les arbres d'Aronszajn sont isomorphes : plus précisément, étant donnés deux arbres d'Aronszajn, il existe un club (contraction de l'anglais CLosed UnBounded : un ensemble non borné, fermé pour la topologie de l'ordre) de niveaux tel que les restrictions des deux arbres à ces ensembles de niveaux sont isomorphes. En revanche, il est consistant (avec ZFC), qu'il existe des arbres d'Aronszajn non spéciaux, et c'est également consistant avec l'hypothèse généralisée du continu, et avec l'hypothèse de Souslin[4].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Aronszajn tree » (voir la liste des auteurs).
• (en) James Cummings et Matthew Foreman, « The tree property », Adv. Math., vol. 133, n^o 1,‎ 1998, p. 1-32 (DOI 10.1006/aima.1997.1680, Math Reviews 1492784)
• (en) Chaz Schlindwein, « Consistency of Suslin's Hypothesis, A Nonspecial Aronszajn Tree, and GCH », The Journal of Symbolic Logic, vol. 59, n^o 1,‎ 1994, p. 1–29 (DOI 10.2307/2275246, JSTOR 2275246)
• (en) Uri Abraham, Aronszajn Trees, 2009 (lire en ligne)
• (en) Ch. Schlindwein, « Arbre d'Aronszajn », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)