Asymptote

Dans ce qui suit, on utilisera les notations a et b pour désigner des nombres réels, donc finis.

Hyperbole, courbe représentative de la fonction inverse. Les deux axes (donc les droite y = 0 et x = 0) sont des asymptotes à la courbe.

La droite d'équation x = a est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f (en a) si, plus la valeur de x se rapproche de la valeur finie a aussi près que l'on veut, en restant plus petite ou plus grande que a, mais sans jamais être égale à a, plus la valeur de f(x) s'approche de l'infini :

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty .}$

On trouvera des asymptotes verticales en particulier lorsque la fonction f se présente sous forme d'un quotient dont le dénominateur s'annule en a, mais pas le numérateur.

Exemples : fonction homographique, logarithme népérien, fonction tangente

La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à la courbe d'équation y = f(x), si, lorsque x s'accroît autant qu'on veut vers l'infini (mais sans jamais atteindre l'infini), f(x) s'approche d'une valeur finie b :

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=b.}$

Exemples : fonction homographique, fonction exponentielle, tangente hyperbolique

Courbe d'équation y = (1/x)+x, l'axe des y et la droite (d) : x = y sont toutes les deux des asymptotes à la courbe.

La droite d'équation y = ax + b (a étant ici différent de 0) est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f si ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left(f(x)-ax-b\right)=0.}$

Les valeurs de a et de b se calculent à l'aide des formules suivantes :

${\displaystyle a=\lim _{x\to \pm \infty }{f(x) \over x}}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to \pm \infty }{f(x)-ax}}$

Si ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{f(x) \over x}}$ est égale au réel a alors que f(x) – ax n'admet pas de limite réelle en ±∞, on dit que la courbe admet comme direction asymptotique la droite d'équation y = ax.

Si ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{f(x) \over x}}$ est égale au réel a et si ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)-ax=\pm \infty }$, on parle alors de branche parabolique de direction y = ax.

Les trois situations précédentes n'en forment qu'une en géométrie projective, une asymptote étant une tangente à l'infini.

Trident d'équation y = x² + 1/x et ses deux courbes asymptotes d'équation y = x² et y = 1/x.

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe d'équation y = f(x) en ±∞ si ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)-g(x)=0}$ . Les asymptotes « horizontales » ou « obliques » sont alors des cas particuliers de courbes asymptotes de ce type.

On cherche les droites asymptotes aux branches infinies de la courbe d'équation (x = x(t) ; y = y(t)), c’est-à-dire en t₀ (réel ou infini) tel que ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}OM(t)=+\infty }$ où M(t) est le point de coordonnées (x(t) ; y(t)).

La droite d'équation ax + by + c = 0 est asymptote à la courbe en t₀ si

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}OM(t)=+\infty \ \mathrm {et} \ \lim _{t\to t_{0}}ax(t)+by(t)+c=0}$.

Pour rechercher une droite asymptote à la courbe, on observe si l'une ou l'autre des coordonnées tend vers l'infini quand t tend vers t₀. Si aucune des coordonnées ne tend vers l'infini, on ne recherche pas de droite asymptote.

Si l'une des coordonnées tend vers l'infini tandis que l'autre tend vers un réel, on peut conclure sur l'existence d'une asymptote :

• la courbe admet la droite D : y = y₀ pour asymptote en t₀ si :

  ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}x(t)=+\infty \ \mathrm {et} \ \lim _{t\to t_{0}}y(t)=y_{0}}$ ;

• la courbe admet la droite D : x = x₀ pour asymptote en t₀ si :

  ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}x(t)=x_{0}\ \mathrm {et} \ \lim _{t\to t_{0}}y(t)=+\infty }$.

Dans le cas où les deux coordonnées tendent vers l'infini, on recherche une asymptote oblique. On cherche la limite de y(t)/x(t) quand t tend vers t₀. Si cette limite est égale à un réel a non nul, on cherche alors la limite de y(t) – ax(t) quand t tend vers t₀. Si cette limite est égale à un réel b, alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe. Dans tous les autres cas, il n'y a pas d'asymptote oblique.

Exemple : Considérons la courbe d'équation paramétrique

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=1/(1-t^{2})\\y(t)=t^{3}/(1-t^{2})\end{cases}}}$.

Lorsque t s'approche de –1, l'abscisse et l'ordonnée tendent vers l'infini, le rapport y(t)/x(t) tend vers -1 et la somme x(t) + x(t) tend vers 3/2 donc la courbe possède une droite asymptote d'équation x + y = 3/2. La courbe possède également une asymptote (correspondant au cas où t tend vers 1) d'équation y = x – 3/2 ainsi qu'une dernière (cas où t tend vers l'infini) d'équation x = 0.

Une courbe d'équation polaire admet une direction asymptotique lorsque, pour θ₀ donné, on a

${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{0}}\rho (\theta )=\infty }$

La courbe admet alors une droite asymptote s'il existe un réel λ tel que

${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{0}}\rho (\theta )\sin(\theta -\theta _{0})=\lambda }$

La courbe s'approche de la droite d'équation

${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {\lambda }{\sin(\theta -\theta _{0})}}}$

La spirale d'équation t/(t + 1) tend vers le cercle de rayon 1 par l'intérieur.

Une courbe d'équation polaire admet un cercle asymptote lorsqu'il existe ρ₀ donné tel que

${\displaystyle \lim _{\theta \to \infty }\rho (\theta )=\rho _{0}}$

La courbe « s'enroule » alors sur le cercle d'équation ρ = ρ₀.

Si au voisinage de θ₀, ρ(θ) < ρ₀, la courbe s'enroule à l'intérieur du cercle asymptote, si, au contraire, au voisinage de θ₀, ρ(θ) > ρ₀, alors elle s'y enroule à l'extérieur.

Une spirale logarithmique tend vers un point asymptote.

Il peut arriver qu'une branche infinie d'une courbe s'enroule autour d'un point en s'en approchant indéfiniment. Ce point est alors appelé point asymptote à la courbe. On trouve cette situation au centre d'une spirale logarithmique. En équation polaire, l'origine est un point asymptote[5] si ${\displaystyle \lim _{\theta \to \infty }\rho (\theta )=0}$.