Bicommutant

En algèbre, le bicommutant[1] d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée $X'$ , son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : $X''$ .

Propriétés

Les propriétés galoisiennes du commutant entraînent que :

le bicommutant est un opérateur de clôture, i.e.
- $X\subset X''$
- $X\subset Y\Rightarrow X''\subset Y''$
- $(X'')''=X''~$
$X'''=X'~$ , cette dernière égalité (qui entraîne la précédente) venant de

X\subset X''\Rightarrow (X'')'\subset X'

et de

X'\subset (X')''

.

On a ainsi, par récurrence, les relations suivantes :

X\subset X''=X''''=X''''''=\ldots =X^{2n}=\ldots

X'=X'''=X'''''=\ldots =X^{2n-1}=\ldots

pour tout entier n ≥ 1.

Note et référence

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.8.

Voir aussi

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[1] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.8.