Correspondance de Galois

Soient ${\displaystyle m_{1}:P\to Q}$ et ${\displaystyle m_{2}:Q\to P}$ des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ et ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})}$. On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.

Première définition : ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ est une correspondance de Galois antitone si ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ sont décroissantes et si ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}}$ sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

${\displaystyle p\leq _{P}m_{2}(m_{1}(p))\qquad {\text{et}}\qquad q\leq _{Q}m_{1}(m_{2}(q))~.}$

Deuxième définition : ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ est une correspondance de Galois antitone si ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

${\displaystyle q\leq _{Q}m_{1}(p)\Leftrightarrow p\leq _{P}m_{2}(q)~.}$

Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ vers ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})}$ est, au sens de variation de ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ près (elles sont maintenant supposées croissantes), une correspondance antitone entre ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ et l'ensemble ordonné ${\displaystyle (Q,\leq _{Q}^{op})}$, où ${\displaystyle \leq _{Q}^{op}}$ désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de ${\displaystyle \leq _{Q}}$. Autrement dit :

Première définition : ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ est une correspondance de Galois isotone si ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

${\displaystyle p\leq _{P}m_{2}(m_{1}(p))\qquad {\text{et}}\qquad m_{1}(m_{2}(q))\leq _{Q}q~.}$

Deuxième définition : ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

${\displaystyle m_{1}(p)\leq _{Q}q\Leftrightarrow p\leq _{P}m_{2}(q)~.}$

Soit ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone).

• ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}}$ sont croissantes.
• ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}\circ m_{2}=m_{2}}$ (et ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}\circ m_{1}=m_{1}}$), si bien que ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}}$ sont idempotentes.
• ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ est un opérateur de clôture sur ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ (puisqu'elle est de plus extensive).
• Dans le cas antitone, ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}}$ est de même un opérateur de clôture sur ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})}$.
• Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ est de la forme ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ pour une certaine correspondance de Galois[1], en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour ${\displaystyle m_{1}}$ la corestriction de c à Q, et pour ${\displaystyle m_{2}}$ l'injection canonique de Q dans P.

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