Biquaternion

Notez que le produit matriciel

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

où chacune de ces matrices possède un carré égal au négatif de la matrice identité. Lorsque le produit matriciel est interprété comme ${\displaystyle ij=k}$, on obtient alors un sous-groupe du groupe des matrices qui est isomorphe au groupe des quaternions. En conséquence,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}}$ représente le biquaternion q.

Étant donné une matrice complexe 2×2 quelconque, il existe des valeurs complexes u, v, w et x pour la tourner dans cette forme, c’est-à-dire que l'anneau de matrices (en) est isomorphe à l'anneau des biquaternions.

Supposons que nous prenions w purement imaginaire, ${\displaystyle w=b\iota }$, où ${\displaystyle \iota ~\iota =-1}$. (Ici, on utilise ${\displaystyle \iota \,}$ à la place de i pour l'imaginaire complexe pour le distinguer du quaternion i.) Maintenant, lorsque r = w j, alors son carré est

${\displaystyle r~r=(wj)(wj)=(ww)(jj)=bb(-1)(-1)=b^{2}.}$

En particulier, lorsque b = 1 ou –1, alors ${\displaystyle r^{2}=+1}$. Ce développement montre que les biquaternions sont une source de « moteurs algébriques » comme r qui élevé au carré donne +1. Alors ${\displaystyle \{a+b~\iota ~j\mid a,b\in \mathbb {R} \}}$ est un sous-anneau des biquaternions isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus.

Les biquaternions ${\displaystyle \sigma _{1}:=\iota k}$, ${\displaystyle \sigma _{2}:=\iota j}$ et ${\displaystyle \sigma _{3}:=-\iota i}$ ont été utilisés par Alexander Macfarlane (en) et plus tard, sous leur forme matricielle par Wolfgang Pauli. Elles ont été connues sous le nom de matrices de Pauli. Elles ont chacune pour carré la matrice identité et par conséquent la sous-algèbre ${\displaystyle \{a+b~\sigma \mid a,b\in \mathbb {R} \}}$ engendrée par l'une d'entre elles dans l'anneau des biquaternions est isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus. Par conséquent, une matrice de Pauli ${\displaystyle \sigma }$ engendre un groupe à un paramètre ${\displaystyle \{\exp(a\sigma )\mid a\in \mathbb {R} \}}$ dont les actions sur la sous-algèbre sont des rotations hyperboliques. Le groupe de Lorentz est un groupe de Lie à six paramètres, trois paramètres (c.-à-d. les sous-groupes engendrés par les matrices de Pauli) sont associés avec les rotations hyperboliques, quelquefois appelées « boosts ». Les trois autres paramètres correspondent aux rotations ordinaires dans l'espace, une structure des quaternions réels connue sous le nom de quaternions et rotation dans l'espace. La vue habituelle par une forme quadratique de cette présentation est que u² + v² + w² + x² = q q* est conservée par le groupe orthogonal sur les biquaternions lorsqu'il est vu comme ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$. Lorsque u est réel et v, w et x sont des imaginaires purs, on obtient le sous-espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ qui convient pour modéliser l'espace-temps.