Boucle de Wilson

La variable de ligne de Wilson ${\displaystyle W_{C}}$ (ou mieux, variable de boucle de Wilson, puisque l'on a toujours affaire à des lignes fermées) est une quantité définie par la trace d'une exponentielle ordonnée des chemins d'un champ de jauge ${\displaystyle A_{\mu }}$ transporté le long d'une ligne close C :

${\displaystyle W_{C}:=\mathrm {Tr} \,(\,{\mathcal {P}}\exp i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }\,)\,.}$

Ici ${\displaystyle C}$ est une courbe fermée de l'espace, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ est un opérateur d'ordonnancement des chemins. Sous une transformation de jauge

${\displaystyle {\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}\to g(x){\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}g^{-1}(x)\,}$,

où ${\displaystyle x\,}$ correspond au point de départ (et de fin) de la boucle (seulement le point initial et final de la boucle contribuent, alors que les transformations de jauges intermédiaires s'annulent mutuellement). Pour les jauges SU(2), par exemple, ${\displaystyle g^{\pm 1}(x)\equiv \exp\{\pm i\alpha ^{j}(x){\frac {\sigma ^{j}}{2}}\}}$; ${\displaystyle \alpha ^{j}(x)}$ est une fonction réelle arbitraire de ${\displaystyle x\,}$, et ${\displaystyle \sigma ^{j}}$ sont les trois matrices de Pauli ; selon la convention d'Einstein, la somme sur les indices répétés est implicite.

L'invariance de la trace sous permutations cycliques garantit que ${\displaystyle W_{C}}$ est invariant sous les transformations de jauges. Il faut noter que la quantité sur laquelle on effectue la trace est un élément du groupe de Lie de la jauge et la trace est réellement le caractère de cet élément par rapport à l'une de l'infinité des représentations irréductibles, ce qui implique que les opérateurs ${\displaystyle A_{\mu }\,dx^{\mu }}$ n'ont pas besoin d'être restreints à la « classe de trace » (qui a un spectre purement discret), mais peuvent généralement être hermitiens comme habituellement. C'est précisément parce que l'on regarde finalement la trace que le point initial choisi n'a pas d'importance : pour tout point choisi comme initial on obtient nécessairement la même valeur.

En fait, si A est vu en tant que connexion sur un fibré principal G, l'équation précédente doit être lue comme le transport parallèle de l'identité autour de la boucle qui aurait donné un élément du groupe de Lie de G.

Il faut noter que l'exponentielle des chemins ordonnés est une notation compacte pratique usuelle en physique qui cache un certain nombre d'opérations. Un mathématicien formulerait l'exponentielle des chemins orientés comme « l'holonomie de la connexion » et la caractériserait par l'équation différentielle de transport parallèle qu'elle satisfait.

• Portail de la physique