Brusselator

En haut : le modèle du Brusselator en régime instable (A=1, B=3) : le système approche un cycle limite. En bas : le modèle du Brusselator en régime stable avec A=1 et B=1,7 : pour B<1+A², le système est stable et converge vers un point fixe.

Simulation de Brusselator pour un système à réaction-diffusion à deux dimensions spatiales.

Le modèle du Brusselator est caractérisé par ce type de réactions :

${\displaystyle A\rightarrow X}$

${\displaystyle 2X+Y\rightarrow 3X}$

${\displaystyle B+X\rightarrow Y+D}$

${\displaystyle X\rightarrow E}$.

Dans les conditions où les espèces chimiques A et B seraient en excès massif et dont les concentrations peuvent ainsi être modélisées comme constantes au cours du temps, l'équation cinétique devient alors le système suivant :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left\{X\right\}=\left\{A\right\}+\left\{X\right\}^{2}\left\{Y\right\}-\left\{B\right\}\left\{X\right\}-\left\{X\right\}}$

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left\{Y\right\}=\left\{B\right\}\left\{X\right\}-\left\{X\right\}^{2}\left\{Y\right\}}$

dans lequel, pour plus de commodité, les constantes cinétiques ont été fixées à 1.

Le modèle du Brusselator présente un état limite du système :

${\displaystyle \left\{X\right\}=A}$

${\displaystyle \left\{Y\right\}={B \over A}}$.

L'état limite du système devient instable si :

${\displaystyle B>1+A^{2}}$

ce qui conduit à une oscillation du système.

À la différence du système d'équations différentielles de Lokta-Volerra, les oscillations du modèle de Brusselator ne dépendent pas de la quantité de réactif initialement présent. Au contraire, après un délai suffisant, les oscillations convergent vers un cycle limite[2].

L'exemple le plus connu est une réaction oscillante : la réaction de Belooussov-Jabotinski (dite BZ). Cela peut être créé à partir d'un mélange de bromate de potassium (KBrO₃), d'acide malonique (CH₂(COOH)₂) et de sulfate de manganèse(II) (MnSO₄), dans une solution chauffée d'acide sulfurique (H₂SO₄).

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