Cône (analyse convexe)

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, un cône d'un espace vectoriel réel est une réunion de demi-droites (ouvertes ou fermées) issues de l'origine, et un cône pointé est un cône qui contient l'origine. Cette définition du cône généralise la notion géométrique de cône de l'espace euclidien de dimension 3.

On peut citer comme exemples tous les cônes convexes. Les cônes apparaissent également dans diverses constructions : cône tangent à un ensemble, cône asymptotique d'un ensemble, enveloppe conique, etc.

Dans tout cet article, $E$ désigne un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel, que l'on supposera topologique chaque fois que nécessaire.

Définitions

Cône

D'après la définition donnée en introduction, on a la caractérisation suivante :

Cône — Une partie $K$ de $E$ est un cône si et seulement si $K$ est stable pour la multiplication par tout réel strictement positif[1], ce qui s'écrit : $\forall x\in K\quad \forall t>0\quad tx\in K$ , ou encore : $\mathbb {R} _{+}^{*}K\subset K$ .

Exemples de cônes :

tous les cônes convexes ;
toute union d'une famille de cônes ;
la somme de deux cônes ;
tout complémentaire d'un cône ;
toute intersection d'une famille non vide de cônes.

Différents types de cônes

On dit qu'un cône $K$ est :

saillant s'il ne contient pas de droite vectorielle, autrement dit si $K\cap (-K)\subset \{0\}$ ;
pointé si $0\in K$ (et épointé dans le cas contraire)[2]. Tout cône fermé non vide est pointé.

Un cône $K$ est convexe si et seulement si $K+K\subset K$ . Tout cône convexe épointé est saillant.

Un cône $K$ est polyédrique (c'est-à-dire intersection d'un nombre fini de demi-espaces fermés et a fortiori convexe et fermé) si et seulement si $K$ est l'image réciproque de $\mathbb {R} _{+}^{m}$ par une application linéaire $A:E\to \mathbb {R} ^{m}$ , pour un entier $m\geqslant 1$ .

Un cône convexe non vide $K$ est générateur si $K-K=E$ [3].

Rayon extrême

Un rayon est une demi-droite fermée d'origine $0$ [4]. Il s'agit donc d'un cône polyédrique de dimension 1. On dit qu'un vecteur $x\neq 0$ « génère »^{[réf. nécessaire]} le rayon $\mathbb {R} _{+}x$ .

On dit qu'un rayon est un rayon extrême d'un cône $K$ s'il est généré par un vecteur $x\neq 0$ et si la propriété suivante a lieu

x=x_{1}+x_{2},~~x_{1}\in K,~~x_{2}\in K\qquad \Longrightarrow \qquad x_{1}~{\mbox{et}}~x_{2}\in \mathbb {R} _{+}x.

Cette propriété rappelle celle d'une arête (ou face de dimension 1) d'un convexe. Cependant, si le cône n'est pas convexe, la notion d'arête n'est pas définie, alors que la notion de rayon extrême ne demande pas cette convexité. Par ailleurs, si le cône convexe n'est pas saillant, une arête peut être une droite vectorielle et donc ne pas vérifier la propriété ci-dessus ; par exemple, $\mathbb {R} e^{1}$ est une arête du cône $\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{2}\geqslant 0\}$ , qui n'est pas saillant, mais n'est pas un rayon extrême de ce cône. En réalité, on a la propriété suivante.

Arête d'un cône convexe saillant — Les arêtes d'un cône convexe pointé saillant sont ses rayons extrêmes.

Enveloppe conique

L'enveloppe conique d'un cercle passant par

0

est l'union d'un demi-plan ouvert et du singleton

\{0\}

.

Un ensemble non vide $K\subset E$ est un cône convexe pointé si et seulement si $\mathbb {R} _{+}K\subset K$ et $K+K\subset K$ , ce que l'on peut reformuler ainsi :

Combinaison conique — On appelle combinaison conique (en) de vecteurs de $E$ , une combinaison linéaire à coefficients positifs de ces vecteurs.

Une partie non vide de $E$ est un cône convexe pointé si et seulement si elle est stable par combinaisons coniques.

L'intersection d'une famille non vide $(K_{i})_{i\in I}$ de cônes convexes étant un cône convexe — pointé si les $K_{i}$ le sont —, on peut définir ce que l'on appelle l'enveloppe conique d'une partie (comme raccourci de « enveloppe conique convexe pointée ») :

Enveloppe conique — L'enveloppe conique d'une partie $P$ de $E$ , notée $\operatorname {cone} P$ , est l'intersection des cônes convexes pointés contenant $P$ . C'est donc le plus petit cône convexe pointé contenant $P$ . C'est aussi l'ensemble des combinaisons coniques d'éléments de $P$ :

$\operatorname {cone} P={\Bigg \{}\left.\sum _{i=1}^{m}t_{i}x_{i}~\right|~m\in \mathbb {N}$ [5] $,~t_{i}\in \mathbb {R} _{+},~x_{i}\in P{\Bigg \}}.$

Si $P$ est convexe et non vide, son enveloppe conique est donc simplement[3]^{[réf. à confirmer]} : $\bigcup _{\lambda \geq 0}\lambda P$ .

Notes et références

Certains auteurs, comme Jahn 2007, p. 81, Borwein et Lewis 2006, p. 1, Bonnans et Shapiro 2000, p. 31 ou Fischer, Schirotzek et Vetters 2013, p. 153, n'admettent comme cônes que les parties non vides stables par multiplication par un réel positif ou nul, que nous appelons cônes pointés.
Bourbaki 1981, p. 26.
Bourbaki 1981, p. 47.
Pour Berman et Shaked-Monderer 2003, $\{0\}$ est aussi un rayon.
On inclut le cas $m=0$ , de façon à obtenir le vecteur nul (sous la forme de la somme vide) même lorsque $P$ est l'ensemble vide, dont l'enveloppe conique est $\{0\}$ d'après la définition précédente.

Voir aussi

Bibliographie

(en) Abraham Berman et Naomi Shaked-Monderer, Completely Positive Matrices, River Edge, NJ, World Scientific, 2003 (lire en ligne), p. 41-43
(en) J. F. Bonnans et A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, New York, Springer, 2000 (lire en ligne), p. 31
(en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, 2006, 2^e éd. (1^re éd. 2000) (lire en ligne), p. 1-2
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre V : Espaces vectoriels topologiques, Springer, 1981
(en) Jacques Faraut et Adam Korányi, Analysis on Symmetric Cones, Oxford University Press, 1994
(de) Andreas Fischer, Winfried Schirotzek et Klaus Vetters, Lineare Algebra : Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer, 2013 (1^re éd. 2003) (lire en ligne), p. 153
(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I : Fundamentals, Berlin/New York/Paris etc., Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (n^o 305), 1993, 417 p. (ISBN 3-540-56850-6, lire en ligne), p. 89-90 et 101-102
(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Berlin Heidelberg New York, Springer, 2004 (1^re éd. 2001) (lire en ligne), p. 21-22 et 32-33
(en) Johannes Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer, 2007, 3^e éd. (1^re éd. 1994), « Tangent Cones »
(en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, NJ, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (n^o 28), 1970 (lire en ligne), p. 13-14

Articles connexes

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[1] Certains auteurs, comme Jahn 2007, p. 81, Borwein et Lewis 2006, p. 1, Bonnans et Shapiro 2000, p. 31 ou Fischer, Schirotzek et Vetters 2013, p. 153, n'admettent comme cônes que les parties non vides stables par multiplication par un réel positif ou nul, que nous appelons cônes pointés.

[2] Bourbaki 1981, p. 26.

[Bourbaki_1981_p.47-3] Bourbaki 1981, p. 47.

[4] Pour Berman et Shaked-Monderer 2003, $\{0\}$ est aussi un rayon.

[5] On inclut le cas $m=0$ , de façon à obtenir le vecteur nul (sous la forme de la somme vide) même lorsque $P$ est l'ensemble vide, dont l'enveloppe conique est $\{0\}$ d'après la définition précédente.