Cent et savart

Depuis l'Antiquité et Pythagore, on a remarqué que les intervalles, dans le domaine musical, correspondent à des multiplications ou divisions, dans le domaine physique. Une octave en dessous ou au dessus est une multiplication ou une division par deux de la longueur d'une corde vibrante ou d'un tuyau ; une quinte, une multiplication ou une division par un et demi, et de même pour les autres intervalles[1]. La fréquence de la vibration sonore est inversement proportionnelle à cette grandeur. À chaque montée d'une octave sur le piano par exemple la fréquence double et suit alors une progression géométrique ou exponentielle. La fonction inverse pour revenir aux touches du clavier est un logarithme[2] qui transforme un produit (${\displaystyle \times 2}$) en somme (${\displaystyle +1}$).

L'intérêt de l'expression logarithmique des intervalles est qu'elle correspond à la perception musicale. Les musiciens ont tendance à penser qu'une tierce majeure plus une tierce mineure forment une quinte alors que, pour les grandeurs physiques, c'est le rapport de fréquence de la tierce majeure multiplié par le rapport de fréquence de la tierce mineure qui donne le rapport de fréquence de la quinte. Si les représentations logarithmiques des intervalles semblent à première vue compliquées, elles sont en réalité plus intuitives[3].

Un cent se définit comme le centième du demi-ton tempéré[4].

Le demi-ton au tempérament égal vaut 100 cents. La gamme chromatique tempérée étant composée de 12 demi-tons identiques, l'octave vaut 1200 cents. Le rapport de fréquence pour une octave étant de 2, on utilise le logarithme binaire ou logarithme de base 2. Cette fonction est très pratique car on a : log₂ 2 = 1 et log₂ (2^1/12) = 1/12. Or la racine douzième de 2 soit 2^1/12 est justement le rapport de fréquence pour le demi-ton tempéré[5]. Ainsi la valeur en cents de l'intervalle entre deux sons de fréquences fondamentales ${\displaystyle f_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}}$ est :

${\displaystyle i=1200\times \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)}$

Ce nombre se calcule en général avec le logarithme décimal[alpha 1] puisque le logarithme binaire n'est pas disponible sur les calculatrices. Grâce à la formule générale du changement de base on peut alors écrire :

$${\displaystyle i=1200\times {\frac {\log \left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)}{\log 2}}}$$

Un intervalle exprimé en cents se convertit en rapport de fréquences par :

${\displaystyle {\frac {f_{2}}{f_{1}}}=2^{\frac {i}{1200}}}$

L'unité définie au tournant du XVIII^e siècle a pris plus tard le nom de l'acousticien Félix Savart (1791-1841). Elle n'est plus beaucoup utilisée aujourd'hui car elle est moins pratique.

L'intervalle en savarts entre deux fréquences est égal à mille fois le logarithme décimal de leur rapport[6].

La valeur en savarts de l'intervalle entre deux sons de fréquence fondamentale ${\displaystyle f_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}}$ est :

${\displaystyle \sigma =1000\times \log \left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)}$

Quand une note est à l'octave d'une autre, sa fréquence fondamentale est double. Le logarithme décimal de 2 est approximativement 0,301. L'octave correspond donc à environ 301 savarts.

On arrondit souvent le savart à 1/300 d'octave[7]. Un demi-ton équivaut ainsi à 25 savarts.

Le plus petit intervalle perceptible par un auditeur attentif est proche d'un savart[8]. Le seuil de discrimination humain entre deux sons purs de fréquences proches varie selon les fréquences et le volume sonore, avec un minimum aux alentours de 1 500 Hz (sol⁵), où, pour des sujets entraînés et un niveau sonore moyen ou fort, il peut diminuer jusqu'à 0,25 %, soit environ 1 savart. Au-dessus du do³ (261 Hz), le seuil est toujours inférieur à 2 savarts ; mais plus bas, il augmente nettement, et pour le do⁰ à 32,7 Hz[alpha 2], il est d'environ 10 savarts[9]. Mais les sons musicaux de fréquence inférieure à la moitié de celles de la plage de meilleure discrimination contiennent des partiels harmoniques dans cette région. Aussi, le plus petit intervalle décelable reste, pour ces sons, presque identique au minimum[10].

Connaissant un intervalle musical exprimé en savarts, on retrouve le rapport des fréquences fondamentales par :

${\displaystyle {\frac {f_{2}}{f_{1}}}=10^{\frac {\sigma }{1000}}}$

Un savart vaut approximativement quatre cents. En effet pour un même intervalle on a :

${\displaystyle {\sigma \over i}=\log 2\times {\frac {1000}{1200}}\simeq 0{,}2508}$

Le tableau suivant permet de comparer les deux échelles de mesure (valeurs arrondies) pour la gamme naturelle de do (les valeurs de ces intervalles restant les mêmes quelle que soit la tonique de la gamme)[11].

Le tableau suivant présente les équivalences pour les intervalles de la gamme tempérée[13]. Les chiffres entre parenthèse expriment en valeurs arrondies la différence en cents avec la gamme naturelle.

L'intérêt pour l'utilisation musicale des logarithmes est presque aussi ancien que les logarithmes eux-mêmes, inventés par John Napier en 1614[14]. Dès 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) décrit dans une lettre à Athanasius Kircher l'usage des logarithmes à base 2 en musique[15]. Dans cette base, l'octave vaut 1, le demi-ton 1/12, etc.

Joseph Sauveur a proposé dans ses Principes d'acoustique et de musique de 1701 l'utilisation des logarithmes à base dix, probablement parce que les tables en étaient disponibles ; il a utilisé des logarithmes calculés avec trois décimales. Le logarithme décimal de 2 vaut approximativement 0,301, que Sauveur propose de multiplier par 1000 pour obtenir des unités valant 1/301 d'octave. Comme 301 est le produit de deux nombres premiers, 43 et 7, il suggère de prendre des unités d'un quarante-troisième d'octave, qu'il appelle « mérides », divisées en 7 parties, les « heptamérides ». Sauveur a envisagé la possibilité de diviser chaque heptaméride en 10 « décamérides », mais il ne fait pas lui-même réellement usage de cette unité microscopique[16].

Les noms de « savart » et de « millisavart » ont été donnés en 1902 par A. Guillemin à des unités logarithmiques analogues à l'heptaméride et à sa millième partie[17]. Guillemin ne précise pas la valeur approchée du logarithme décimal de 2 sur laquelle il fonde ses calculs[alpha 3], de sorte que la valeur du savart varie selon les sources. Émile Leipp donne cinq chiffres significatifs : 301,03 savarts dans l'octave[18]. Cette valeur est souvent arrondie à 300[19]. D'autres subdivisions basées sur le logarithme décimal avaient été proposées auparavant, notamment la division de l'octave en 30 103 parties (soit 100 000 fois le logarithme décimal de 2), appelée atom par le mathématicien anglais Auguste de Morgan (1806 - 1871) et jot par John Curwen (1816 - 1880) sur une suggestion de Hermann von Helmholtz. Des valeurs aussi petites par rapport au seuil de discrimination humain des fréquences acoustiques n'ont cependant aucun intérêt musical[alpha 4].

Au début du XIX^e siècle Gaspard de Prony propose d'exprimer de façon décimale les intervalles en utilisant une graduation « analogue à la nature des quantités soumises au calcul », une échelle logarithmique à base ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$, dans laquelle l'unité correspond à un demi-ton au tempérament égal[20]. Alexander John Ellis décrit en 1880 un nombre élevé de diapasons anciens qu'il avait relevés ou calculés. Notant que le baron de Prony avait proposé « le système qui mesure les intervalles en demi-tons égaux et fractions[alpha 5] », il indique l'intervalle en demi-tons avec deux décimales, c'est-à-dire avec une précision au centième de demi-ton, qui les sépare d'un diapason grave théorique, la³ = 370 Hz, pris comme référence[22].

Ellis publie en 1885 « On the Musical Scales of Various Nations » (Des échelles musicales de différentes nations ), dans lequel il compare les intervalles, exprimés en centièmes de demi-ton, d'échelles musicales décrites par diverses théories musicales non européennes[23]. La musicologie comparée, qui s'intitule ethnomusicologie depuis le milieu du XX^e siècle, utilise largement cette unité à laquelle Ellis a donné le nom de cent.