Cercle d'Apollonius

Un exemple de cercles d'Apollonius

Les cercles d'Apollonius peuvent être construits comme suit. On débute avec trois cercles C1, C2 et C3, chacun d'eux étant tangent aux deux autres (dans la construction générale, ces trois cercles peuvent avoir n'importe quelle taille, tant qu'ils sont tangents). Apollonius découvrit qu'il existe deux autres cercles qui n'ont pas d'intersection, C4 et C5, qui ont la propriété d'être tangents avec les trois cercles originaux — ceux-ci ont été appelés cercles d'Apollonius.

En ajoutant les deux cercles d'Apollonius aux trois cercles originaux, nous avons maintenant cinq cercles.

Prenons un des deux cercles d'Apollonius - disons C4. Il est tangent à C1 et C2, donc le triplet de cercles C4, C1 et C2 ont leur propres cercles d'Apollonius. Nous connaissons déjà un de ceux-ci - c'est C3 - mais l'autre est un nouveau cercle C6.

D'une manière similaire, nous pouvons construire un nouveau cercle C7 qui est tangent à C4, C2 et C3, et un autre cercle C8 à partir de C4, C3 et C1. Ceci nous donne 3 nouveaux cercles. Nous pouvons construire trois autres nouveaux cercles à partir de C5, donnant six nouveaux cercles. En prenant les cercles de C1 jusqu'à C5, ceci donne un total de 11 cercles.

En continuant la construction étape par étape de cette manière, nous pouvons ajouter 2×3ⁿ nouveaux cercles à l'étape n, donnant un total de 3ⁿ⁺¹+2 cercles après n étapes.

La construction des cercles d'Apollonius possède une dimension de Hausdorff égale à 1,3057[2].

Sphères d'Apollonius

Les cercles d'Apollonius peuvent aussi être construits en remplaçant un des cercles générateurs par une ligne droite, qui peut être vue comme un cercle passant par le point à l'infini.

Alternativement, deux des cercles générateurs peuvent être remplacés par des droites parallèles, qui peuvent être vues comme étant tangentes à l'autre à l'infini. Dans cette construction, les cercles qui sont tangents à une des deux droites forment une famille de cercles de Ford.

L'extension des cercles d'Apollonius à trois dimensions est baptisée « sphères d'Apollonius ». Sa dimension fractale a été estimée à 2,47[3].

Si les trois cercles originaux ont le même rayon, alors les cercles d'Apollonius possèdent trois axes de symétrie; ces droites sont mutuellement tangentes à chaque paire de cercles. Chaque tangente mutuelle passe aussi par le centre du troisième cercle et le centre commun du premier des deux cercles d'Apollonius. Ces axes de symétrie forment des angles de 60 degrés, donc, la construction des cercles d'Apollonius a aussi une symétrie rotationnelle de degré 3. Plus généralement, partant d'une famille de n cercles de même rayon tangents deux à deux, on obtient une famille de cercles d'Apollonius ayant une symétrie rotationnelle de degré n, comme on le voit ci-dessous.

Les courbures (les inverses des rayons) d'un ensemble de quatre cercles tangents trois à trois sont liés par la relation de Descartes : ${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).}$ Si alors on appelle ${\displaystyle k_{4}}$ et ${\displaystyle k'_{4}}$ les courbures des deux cercles tangents aux trois premiers, on obtient ${\displaystyle k_{4}+k'_{4}=2\,(k_{1}+k_{2}+k_{3})}$ ; on en déduit de proche en proche que si quatre des courbures d'un ensemble de cercles d'Apollonius sont entières, elles le sont toutes[4].

Les trois cercles générateurs, et par conséquent la construction entière, sont déterminés par la localisation des trois points où ils sont tangents les uns les autres. Puisqu'il existe une transformation de Möbius qui applique trois points donnés quelconques dans le plan à trois autres points quelconques, et puisque les transformations de Möbius respectent les cercles, alors il existe une transformation de Möbius qui applique deux constructions de cercles d'Apollonius quelconques à une troisième.

Les transformations de Möbius sont aussi des isométries du plan hyperbolique, donc dans la géométrie hyperbolique, toutes les constructions de cercles d'Apollonius sont congrues. Dans un sens, il existe par conséquent seulement une construction de cercles d'Apollonius, qui peut être pensée comme un pavage de plan hyperbolique par des cercles et des triangles hyperboliques.

La construction de cercles d'Apollonius est l'ensemble limite d'un groupe de transformations de Möbius connu comme un groupe de Klein.