Champ aléatoire de Markov

Soit ${\displaystyle G=(V,E)}$ un graphe non orienté et ${\displaystyle X=\{X_{i}\}_{i\in V}}$ un ensemble de variables aléatoires indexé par les sommets de ${\displaystyle G}$. On dit que ${\displaystyle X}$ est un champ aléatoire de Markov relativement à ${\displaystyle G}$ si une des trois propriétés suivantes est vérifiée

• ${\displaystyle X_{u}\perp \!\!\!\perp X_{v}\mid X_{V\setminus \{u,v\}},\forall (u,v)\notin E}$ , c'est-à-dire que deux variables aléatoires dont les sommets associés ne sont pas voisins dans le graphe ${\displaystyle G}$ sont indépendantes conditionnellement à toutes les autres variables.
• ${\displaystyle X_{u}\perp \!\!\!\perp X_{V\setminus cl(u)}\mid X_{V\setminus \partial u}}$, avec ${\displaystyle \partial u}$ l'ensemble des voisins de ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle cl(u)=\{u\}\cup \partial u}$. C'est-à-dire qu'une variable est indépendante de toutes les autres conditionnellement à son voisinage.
• ${\displaystyle X_{A}\perp \!\!\!\perp X_{B}\mid X_{S}}$, lorsque ${\displaystyle S}$ sépare ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$: c'est-à-dire que tout chemin d'un sommet de ${\displaystyle A}$ vers un sommet de ${\displaystyle B}$ passe par un sommet de ${\displaystyle S}$.

Il existe des conditions sous lesquelles ces trois propriétés sont équivalentes mais ce n'est cependant pas toujours le cas. Par exemple, dans le cas où la loi de ${\displaystyle X}$ admet une densité continue et strictement positive par rapport à une mesure les trois propriétés ci-dessus sont équivalentes[1]. Dans le cas où les variables aléatoires sont discrètes la stricte positivité de la loi suffit donc.

Les champs de Markov sont utilisés, entre autres, pour la classification en fouille de données spatiales[2]^,[3], l'analyse d'images[4], la prédiction du trafic automobile[5], pour la cartographie des risques épidémiologiques[6].