Auto-régression simultanée

Ce modèle prend la forme suivante :

${\displaystyle y=\rho W_{1}y+x\beta +\epsilon }$

${\displaystyle \epsilon =\lambda W_{2}\epsilon +u}$

où ${\displaystyle \rho }$ et ${\displaystyle \lambda }$ sont des coefficients d’auto-régression, ${\displaystyle W_{1}}$ et ${\displaystyle W_{2}}$ sont les matrices de poids spatiaux, x les variables explicatives, y la variable expliquée,${\displaystyle \epsilon }$ et ${\displaystyle u}$ représentent les erreurs[1].

Selon que les paramètres ${\displaystyle \rho }$ et ${\displaystyle \lambda }$ sont nuls ou non le modèle peut prendre les quatre formes suivantes[1] :

• le modèle de régression linéaire

${\displaystyle y=x\beta +\epsilon }$

• le modèle de décalage spatial (« spatial lag model »), où la dépendance spatiale est portée par la variable réponse et apparait dans le modèle comme une variable explicative supplémentaire

${\displaystyle y=\rho Wy+x\beta +\epsilon }$

• le modèle d'erreur spatiale (« spatial error model »), où la dépendance spatiale est portée par la perturbation

${\displaystyle y=x\beta +\lambda W\epsilon +u}$

• et le modèle général, rarement utilisé[1]

${\displaystyle y=\rho W_{1}y+x\beta +\lambda W_{2}\epsilon +u}$

On l'utilise ces modèles dans la fouille de données spatiales. Le modèle de décalage spatial est utilisé lorsque l'analyste suppose que le phénomène à analyser est influencé directement par le voisinage immédiat. L'analyste utilise le modèle d'erreur spatiale lorsque la dépendance est présente et identifié dans les résidus[1].

L'estimation des coefficients du modèle est en général effectuée à l'aide de la méthode du maximum de vraisemblance[3], bien que extrêmement consommatrice de ressource machine[4].