Circuit équivalent de Mason

Le schéma prend la forme suivante. Les notations ne sont uniformes selon les auteurs, on utilise ici celles de Sheritt en 1999[2] :

Les termes utilisés dans le schéma sont les suivants :

• la capacité : ${\displaystyle C_{0}={\frac {A\varepsilon _{33}^{S}}{t}}}$ ;
• l'impédance mécanique : ${\displaystyle Z_{0}=A{\sqrt {\rho C_{33}^{D}}}}$
• la conversion électromécanique, représentée comme un transformateur, a un coefficient de conversion : ${\displaystyle N=C_{0}h_{33}}$ ;
• le nombre d'onde ${\displaystyle \Gamma =\omega {\sqrt {\frac {\rho }{C_{33}^{D}}}}}$, avec ${\displaystyle \omega }$ la fréquence angulaire ;
• ${\displaystyle Z_{T}=iZ_{0}tan({\frac {\Gamma t}{2}})}$ ;
• ${\displaystyle Z_{S}=-iZ_{0}{\frac {1}{sin(\Gamma t)}}}$ ;

Le tout pour une couche piézoélectrique de surface ${\displaystyle A}$ et d'épaisseur ${\displaystyle t}$.

Ces définitions font appel aux propriétés piézoélectriques du matériau considéré :

• la masse volumique du matériau : ${\displaystyle \rho }$ (en kg m⁻³) ;
• la rigidité du matériau dans l'axe 3 : ${\displaystyle C_{33}^{D}}$ (en N m⁻²) ;
• la permittivité relative à déformation constante : ${\displaystyle \varepsilon _{33}^{S}}$ (adimensionnelle) ;
• la constante piézoélectrique : ${\displaystyle h_{33}}$ (en V/m).

Par convention, l'axe 3 est la direction de polarisation du matériau. Notons qu'en l'absence de pertes, ${\displaystyle Z_{T}}$ et ${\displaystyle Z_{S}}$ divergent pour ${\displaystyle \Gamma t=\pi }$, c'est-à-dire lors de la résonance en ${\displaystyle ^{\lambda }/_{2}}$.

Les terminaisons à gauche et à droite du schéma ci-dessus représentent, par le biais de l'analogie électro-mécanique, la situation sur les deux faces du matériau piézoélectrique. Ainsi, des couches situées sur une face ou l'autre vont être représentées par des guides d'ondes mécaniques. Un milieu semi-infini est représenté en terminant le port correspondant par une impédance acoustique ${\displaystyle Z_{end}=A\rho c_{0}}$.

Si l'une des face est dans le vide (c'est-à-dire que l'impédance acoustique du milieu est négligeable), le port correspondance est fermé par un court-circuit : un court-circuit impose en effet une tension nulle, donc, dans le cas de l'analogie électromécanique, une contrainte nulle.

Ainsi on peut calculer l'impédance électrique de la plaque piézoélectrique seule (deux faces libres) : ${\displaystyle Z_{free}=({\frac {1}{jC_{0}\omega }})\parallel {\Big (}{\frac {-1}{jC_{0}\omega }}+{\frac {Z_{S}+{\frac {Z_{T}}{2}}}{N^{2}}}{\Big )}}$,

où le symbole ${\displaystyle \parallel }$ dénote l'assemblage en parallèle de deux impédances, c'est-à-dire ${\displaystyle Z_{1}\parallel Z_{2}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$.

Après remplacement des termes par leurs expressions respective et simplification, on obtient : ${\displaystyle Z_{free}=({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}){\Biggl (}1-{\frac {k_{t}^{2}tan{\bigl (}{\frac {t\omega }{2}}{\sqrt {\frac {\rho }{C_{33}^{D}}}}{\bigr )}}{{\bigl (}{\frac {t\omega }{2}}{\sqrt {\frac {\rho }{C_{33}^{D}}}}{\bigr )}}}{\Biggr )}}$.

Cette expression est notamment utile pour déterminer les propriétés piézoélectriques du matériau par problème inverse, l'impédance électrique étant facile à mesurer expérimentalement[3].

Le présence d'une capacité négative a souvent été perçue comme une limite du modèle, étant jugée contre-instinctive et « non physique »[2]. Le modèle de Mason est très utilisé comme modèle simple du comportement d'une couche piézoélectrique, permettant de fournir un dimensionnement rapide. Il présente cependant les limites dues à sa simplicité : tout effet latéral dans le plan est ignoré (condition aux limites latéral, modes de vibration dans le plan), toutes les propriétés sont supposées homogènes.

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