Action par conjugaison

Notons ici, pour tout élément g de G, ${\displaystyle aut_{g}:G\to G,x\mapsto aut_{g}(x):=gxg^{-1}}$

l'automorphisme intérieur de G associé à g (c'est un automorphisme de G). Alors, l'application g ↦ aut_g, de G dans S_G, est un morphisme de groupes.

En effet, aut_g∘aut_h = aut_gh.

L'action de groupe associée, définie par

${\displaystyle g\cdot x:=aut_{g}(x)=gxg^{-1},}$

est appelée l'action par conjugaison de G sur lui-même.

Pour tout x appartenant à G, l'orbite de x sous cette action est appelée la classe de conjugaison de x et est notée C_x :

${\displaystyle C_{x}=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}.}$

Ses éléments sont appelés les conjugués de x.

• Les classes de conjugaison sont utilisées pour la démonstration du théorème de Wedderburn stipulant que tout corps fini est commutatif.
• Dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, les classes de conjugaison sont à la base de la définition des fonctions centrales d'un groupe fini, elles servent à définir l'espace vectoriel, les caractères des représentations. Dans le même contexte, on les retrouve pour l'analyse du centre d'une algèbre d'un groupe.
• Les automorphismes intérieurs sont utilisés pour la démonstration des théorèmes de Sylow, du théorème de Frattini et dans de nombreuses démonstrations concernant les groupes.
• La diagonalisation d'une matrice consiste à trouver une matrice diagonale qui lui est semblable.
• La conjugaison d'un quaternion purement imaginaire par un quaternion unitaire équivaut à la rotation d'un vecteur de l'espace à trois dimensions. La conjugaison d'un quaternion purement imaginaire par un quaternion quelconque équivaut à une similitude.

• Les classes de conjugaison d'un groupe symétrique sont composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure. Ceci signifie que le nombre de cycles de même longueur est le même pour chaque élément d'une classe de conjugaison.
• Les classes de conjugaison d'un groupe alterné et du groupe simple d'ordre 168 sont étudiées dans l'article associé.

• Quand G est commutatif, l'action par conjugaison est l'identité.
• Les classes de conjugaison constituent une partition de G associée à la relation d'équivalence :${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow \exists g\in G,\quad y=gxg^{-1}.}$
• Un élément g de G fixe un élément particulier x si et seulement si g est élément du centralisateur Z_x de x :${\displaystyle gxg^{-1}=x\Leftrightarrow gx=xg\Leftrightarrow g\in Z_{x}.}$La formule des classes montre alors que, si C_x désigne la classe de conjugaison de x :${\displaystyle \operatorname {Card} (C_{x})={\frac {\operatorname {Card} (G)}{\operatorname {Card} (Z_{x})}},}$en particulier le cardinal de toute classe de conjugaison divise le cardinal de G.
• Un élément g de G fixe donc tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G. Plus généralement, ${\displaystyle \operatorname {aut} _{g}=\operatorname {aut} _{g'}}$ ssi g = g' mod Z(G). Par conséquent, l'action de G (sur G) induit une action (sur G) du groupe quotient G/Z(G).
• L'orbite C_x est réduite à {x} si et seulement si x appartient au centre de G. En choisissant un représentant x_i par classe de conjugaison disjointe du centre, la formule précédente donne donc l'équation aux classes :${\displaystyle \operatorname {Card} (G)=\operatorname {Card} (Z(G))+\sum _{i}{\frac {\operatorname {Card} (G)}{\operatorname {Card} (Z_{x_{i}})}}.}$

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