Coefficients aérodynamiques

Les coefficients aérodynamiques sont des nombres sans dimension représentant les forces et moments exercés sur un objet par un écoulement, exprimés dans un repère de référence. L'adimensionnement de ces quantités (c.-à-d. les forces et moments) se fait par division par la pression dynamique et par la surface de référence choisie (qui doit toujours être précisée).

Le vocabulaire et les symboles employés sont donnés par la norme AFNOR NF X02-115.

Définitions

Repère aérodynamique.

On commence par définir les repères qui serviront à mesurer les forces et moments. Le premier repère (x, y, z), naturel, est lié à l'objet (ou « engin »).

Les axes x, y et z sont les axes de roulis, tangage, lacet respectivement.

Les vitesses de rotation autour de ces axes, comptées dans le sens direct, sont p, q r, respectivement.

Dans ce repère la vitesse est V = (u, v, w) avec

u=V\cos \alpha \cos \beta

v=V\sin \beta

w=V\cos \beta \sin \alpha

où (voir figure)

α est l'incidence comptée positivement vers le haut (w > 0),
β est le dérapage, positif lorsque v > 0.

Le second repère est lié à la vitesse et baptisé repère aérodynamique. Il est obtenu par une rotation - α autour de Oy, suivi d'une rotation β amenant Ox sur le vecteur vitesse.

La pression dynamique est :

q={\frac {1}{2}}\,\rho \,V^{2}={\frac {1}{2}}\,\gamma \,p\,M^{2}

où ρ est la masse volumique de l'atmosphère au point considéré, p sa pression, γ l'indice adiabatique et M le nombre de Mach.

Coefficients statiques

Définitions

Sur l'objet s'appliquent la force F = (F_A, F_Y, F_N) et un moment B = (B_l, B_m, B_n) compté en O. On définit les coefficients statiques de force et de moment dans le repère engin (ou repère corps) par les relations suivantes :

Coefficient de traînée		$F_{A}=-q\,S_{ref}\;C_{A}$
Coefficient de dérapage		$F_{Y}=~~q\,S_{ref}\;C_{Y}$
Coefficient de portance		$F_{N}=-q\,S_{ref}\;C_{N}$
Coefficient de roulis		$B_{l}\,=q\,S_{ref}L_{ref}\;C_{l}$
Coefficient de tangage		$B_{m}=q\,S_{ref}L_{ref}\;C_{m}$
Coefficient de lacet		$B_{n}=q\,S_{ref}L_{ref}\;C_{n}$

où S_ref et L_ref sont les surface et longueur de référence. Ce sont des valeurs arbitraires liées à la définition de la pression dynamique. Toutefois des considérations de similitude peuvent justifier l'emploi de quantités physiques associées à l'engin comme le maître-couple ou la longueur. Ainsi pour un écoulement de gaz parfait sans champ externe (champ de gravité ou champ électromagnétique) les divers coefficients sont inchangés par homothétie sur le corps à condition de respecter l'invariance du nombre de Mach et du nombre de Reynolds.

Dans le repère aérodynamique (ou repère vent) on définit de même les coefficients de force C_x (ou C_D), C_y et C_z (ou C_L) :

Coefficient de traînée		$F_{x}=-q\,S_{ref}\;C_{x}$
Coefficient de dérapage		$F_{y}=~~q\,S_{ref}\;C_{y}$
Coefficient de portance		$F_{z}=-q\,S_{ref}\;C_{z}$

Le lien avec les coefficients en axes engin sont obtenus par projection des forces du repère engin au repère aérodynamique :

C_{x}\equiv C_{D}=(C_{A}\cos \alpha +C_{N}\sin \alpha )\cos \beta -C_{Y}\sin \beta

C_{y}=C_{Y}\cos \beta +(C_{A}\cos \alpha +C_{N}\sin \alpha )\,\sin \beta

C_{z}\equiv C_{L}=C_{N}\cos \alpha -C_{A}\sin \alpha

Transport des moments, centres de pression

Les moments définis en O peuvent être transportés en tout point G (en général le centre de gravité) par la formule de Varignon :

\mathbf {B} _{G}=\mathbf {B} _{O}-\mathbf {OG} \wedge \mathbf {F}

D'où les expressions :

C_{l_{G}}=C_{l_{O}}+{\frac {y_{G}}{L_{ref}}}\,C_{N}+{\frac {z_{G}}{L_{ref}}}\,C_{Y}

C_{m_{G}}=C_{m_{O}}-{\frac {x_{G}}{L_{ref}}}\,C_{N}+{\frac {z_{G}}{L_{ref}}}\,C_{A}

C_{n_{G}}=C_{n_{O}}-{\frac {x_{G}}{L_{ref}}}\,C_{Y}-{\frac {y_{G}}{L_{ref}}}\,C_{A}

Le centre de poussée est défini comme étant le point où B_G = 0 et donc où les la connaissance des efforts se limite à celle de la force F. Un tel point n'existe que si B_O est orthogonal à F, ce qui n'est généralement pas le cas. On peut cependant définir des centres de poussée pour chacun des plans (Ox, Oy), (Ox, Oz) et (Oy, Oz). Par exemple pour le premier :

{\frac {x_{G_{xy}}}{L_{ref}}}={\frac {C_{m}}{C_{N}}}+{\frac {z_{G_{xy}}}{L_{ref}}}\,{\frac {C_{A}}{C_{N}}}\,,\;\;\;y_{G_{xy}}=0

z_{G_xy} est quelconque et pris nul par convention. On fait de même sur les autres plans et au total on obtient :

{\frac {x_{G_{xy}}}{L_{ref}}}={\frac {C_{m}}{C_{N}}}

{\frac {x_{G_{xz}}}{L_{ref}}}={\frac {C_{n}}{C_{Y}}}

{\frac {x_{G_{yz}}}{L_{ref}}}=-{\frac {C_{l}}{C_{Y}}}

Coefficients dynamiques

Des effets instationnaires peuvent apparaître au cours d'un mouvement de rotation ou d'une accélération de l'engin. Ils se manifestent en modifiant la valeur des coefficients statiques, principalement sous forme d'un terme d'amortissement de la rotation. Leur intensité est généralement faible[1].

Références

(en) Gallais P., Atmospheric Re-Entry Vehicle Mechanics, Berlin, Springer Verlag, 2007, 353 p. (ISBN 978-3-540-73646-2)

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[1] (en) Gallais P., Atmospheric Re-Entry Vehicle Mechanics, Berlin, Springer Verlag, 2007, 353 p. (ISBN 978-3-540-73646-2)